Funzioni che hanno per derivata logaritmica un integrale abeliano 11 



punto singolare logaritmico. Se invece 1' integi'ale abeliano ha 

 in un punto un polo d' ordine r > 1 , con residuo nullo , allora 

 questo punto è per l'integrale dell' integrale abeliano un polo 

 d'ordine r — 1 r — 2, r+1, r+ 2 a secondo che è un punto 

 ordinario al finito, ordinario all' co , di diramazione al finito, di 

 diramazione all' oo , della riemanniana. 



21. Ciò premesso una funzione h (z) dirò eh' è una funzione 

 elementare e l'indicherò con il simbolo hi (z) allorché la sua de- 

 rivata logaritmica è un integrale abeliano F{z) avente un sol 

 polo. Ne viene allora : 



/, (.) = ef'^^~^'^ . 



Supponiamo che F{z) abbia in un punto {a, b) un polo 

 del primo ordine, allora per quel che abbiamo dimostrato nel § 

 precedente / F {z) dz ha in quel punto un punto singolare loga- 

 ritmico; dal che segue che la funzione h^ (z) ha nel detto punto 

 la stessa singolarità della funzione 



in cui ? (z) è una funzione che non ha più singolarità alcuna 

 nel punto {a , b). Ora è chiaro che se A_i non è un numero 

 complesso può aversi: 



A_i > oppure A_i <^ . 

 Supponiamo che sia 



^-1 > 0, 

 allora la funzione 



{z — «.) e^ 



ha nel punto (a , b) uno zero d' ordine A_i. Se poi 



A_, < 



è chiaro che l'anzidetta funzione ha nel punto considerato un 

 polo d'ordine A^i. Se A_i è complesso è evidente che la funzione 



