10 Doti. Paolino Fulco [Memoria XIV.] 



Se ciò avviene tutte le il/ e iV sono nulle. 



19. Fondandoci ora sull' osservazione fatta in principio del 

 § precedente possiamo dire che tutte le proprietà dei periodi di 

 un integrale abeliano di prima specie sono anche proprietà delle 

 caratteristiche dei moltiplicatori di una funzione di prima specie. 



Mi dispenso quindi dall'enunciarle potendosi esse trovarsi in 

 qualunque trattato che degli integrali abeliani parla. 



III. Le funzioni h (z) 



20. Abbiamo indicata con h (z) la funzione i (z) che ha per 

 dei-ivata logaritmica un integrale abeliano di seconda specie. Noi 

 sappiamo che un integrale abeliano di seconda specie è un in- 

 tegrale che ammette solamente dei poli e che dicesi elementare 

 allorché ammette su tutta la superfìcie di Riemann un sol polo 

 semplice. 



Supponiamo d'avere un integrale elementare F{z) di seconda 

 specie avente in un punto (ci,„, 6,„) della superficie di Riemann 

 un polo del pj-imo ordine ; allora nell' intorno di questo punto 

 sarà : 



A 



F (z) = =^ + A, + A, (--—«,„) + A^{z — ((„,)■ + .... , 



z—a,„ 



e perciò nelF intorno di questo punto avremo che : 



I'f {2) dz = A_, Ig (z—aj -+■ A^ [z—a,,,) + ^i (- — "v»f -^ ^2 {^-(',„f + •••• 



Dal che segue, non potendo essere ^_i= 0, che l' integrale 

 d'un integrale abeliano elementare di seconda specie è un in- 

 tegrale che ha un punto logaritmico ove 1' integrale abeliano ha 

 un polo del primo ordine. 



Analogamente si dimostra che se un integrale abeliano di 

 seconda specie ha in un punto qualunque della superficie di 

 Riemann un polo d' ordine /• > 1 con residuo non nullo allora 

 r integrale dell'integrale abeliano ha sempre in quel punto un 



