18 NUOVA SERIE DI FUNZIONI 



tipla. Sicché il numero delle radici reali positive di f{x) = 

 comprese fra e ^ è uguale al numero delle variazioni 

 perdute nella serie (5) da ^=0 ad ^=^. Rimane a pro- 

 vare che la serie (5) può essere sostituita dalla (2). 



Nella (4) si uguaglino i coefficienti delle potenze 

 (^ + iy^^"'" di X in ambo 1 membri. Si ha così la relazione 



Affinchè poi la (4) possa ridursi anche alla prima delle 

 (3), bisogna porre 



e quindi 



c_i,i =; ai , Co,i — bi . 



La relazione (6) intanto mostra come si calcolino i 

 coefficienti c,,,^ di una qualunque /",, delle / mediante ì coeffi- 

 cienti delle due A_i ed f„_, che precedono la /"«. Quindi da /^ 

 in poi i coefficienti della f sono calcolabili, in virtù della (6), 

 mediante quelli di f{a)), ed f'(x); e precisamente si ha lo 

 schema che segue : 



(7;i 



