SOSTITUIBILI A QUELLE DI STURM 17 



grado comune delle altre due, quando queste abbiano un 

 medesimo grado. E poiché / ed /' sono di grado m ed m-1, 

 rispettivamente, ^ sarà di grado m-1, f^ di grado al più 

 eguale ad m-1, ^ di grado w?-2 ecc.; ed in generale sic- 

 come da /"i in poi ogni volta che l' indice di f si aumenta 

 di 2 il grado di / diminuisce di 1, mentre da f^ in poi ogni 

 volta che l' indice di f si aumenta di 2 il suo grado dimi- 

 nuisce almeno di 1, così 4+, è di grado m-i-1 ed 4 è di 

 grado al più eguale ad m-i-I. Quindi per ì=m—l, /,,+, ed 

 fu, cioè /,,„_, ed 4„_2 sono di grado 0, e perciò 4,_s = c,,„_2_o . 

 Posto adunque r=2m--2 , le (3) finiranno con la /, ia 

 quale è una quantità costante che non può essere 0, altri- 

 menti /,._! cioè /2,„_3, che è di primo grado in ^, divide- 

 rebbe fr-2, /".-3, . . . , /■' ed /, contro l'ipotesi. 

 Intanto le funzioni 



per ^ positivo, verificano le tre condizioni seguenti , che 

 sono le sole necessarie affinchè esse possano impiegarsi 

 come le funzioni considerate nel teorema di Sturm. 



1.^ L'ultima delle (5) non varia al variare di ^. 



2^ Due qualunque consecutive delle (5) non possono 

 annullarsi per uno stesso valore di ^. 



Giacché se per ^=c potesse risultare /",,_! (c)=/";,_,(c)=0, 

 il medesimo valore e di ^ dovrebbe annullare anche cia- 

 scuna delle /■ che seguono 4_,, compresa /,., ciò che non 

 può essere. 



3.^ Se per un valore qualunque positivo di ^ è nulla 

 una delle funzioni (5), le due che la comprendono sono 

 di segni contrarli, come risulta dalle (3). 



È noto poi che le funzioni di Sturm possono adoprarsi 

 anche nel caso di un' equazione che abbia radici uguali, 

 purché si consideri come una sola radice ogni radice mul- 



