16 NUOVA SERIE DI FUNZIONI 



multiplicità delle radici- Il secondo contiene evidentemente 

 il primo e viene dimostrato da quanto segue. 



Suppongasi per ora che /(^) = non abbia radici 

 uguali: perciò f{x) ed f'{x) non avranno alcun divisore 

 comune che sia funzione di x. 



Fatto in generale 



pongasi 





/, (X) = -^ f,{x) -xf, {X) (3) 



-2,0 



fr-2{X) = -^ fr-dx) - X/r (x). 

 '-r—lfi 



ecc. 



Una qualunque di queste uguaglianze, che può scriversi 



Xf, (X) = - /,,_2 {X) + j^^^ /.._: (X) (4) 



^/.;— 1,0 



mostra che se p. e :- sono i gradi di /,,_2 ed A-_i e se f>:', 

 il grado di f,, è p-i; se poi t^=y il grado di /,, può essere 

 uguale minore di p— i. Vale a dire che considerando tre 

 qualunque consecutive delle funzioni f, per es. /■,,_, , A_i , A-, 

 il grado della terza è inferiore di i a quello dei gradi delle 

 altre due che è il maggiore, o è inferiore almeno di i a 



