SOSTITUIBILI A QUELLE DI STURM 15 



2. Ciò posto, si possono enunciare i due teoremi clie 

 seguono : 



I. V equazione f(x)=o ha tante radici reali positive 

 quante unità contiene la differenza fra il numero delle 

 variazioni che si contano nella serie formata dai primi 

 termini delle orizzontali del quadro (1) ed il numero delle 

 variazioni che si contano nella serie formata dagli ultimi 

 termini di quelle linee. La medesima equazione ha poi 

 tante radici reali negative quante ne dinota la differenza 

 fra % due numeri analoghi ai precedenti forniti dal qua- 

 dro (1'). 



II. Mediante i coefficienti y delle orizzontali succes- 

 sive del quadro (1) si formino i polinomii 



■ /(^), /'(.?;, 9^{^), ?A^), ■ • ■ , ?r{x), (2) 



dove in generale 



e mediante il quadro (T) si formino analogamente gli al- 

 tri polinomii 



f{-3C),f'{-X), -f>,(-a-), ?,{-X), f,{-X), -<p^{-X),...,±fr{-X), {2') 



dei quali, a partire da — ?,(— ^), ognuno che abbia un posto 

 espresso da un numero della forma 3A + 1 è preceduto 

 dal segno — . Siano poi p e q due numeri reali positivi. 

 L'equazione f fx) = o ha tante radici reali positive fra 

 6 q quante sono le variazioni che perde la serie (2) da 

 a}=0, ad £c = q; la medesima equazione ha tante radici 

 reali negative fra e — p, quante sono le variazioni che 

 perde la serie (2') c?(2 x = ad x = — p. 



In entrambi questi teoremi si prescinde dal grado di 



