Su alcune nuove aitplicazioni dei metodi di Picard e di Riemaun 19 



più in generale che L^, L^ sono continui nei punti del triangolo 

 AA^ A^. Xoi dimostrenio questo fatto per L.^ : considerazioni 

 analoghe varranno per Ly 



Sarà così reso palese che i pezzi dei triangoli AAìA^., AAìA.^ 

 AAiA^, che fanno parte del contorno di una delle regioni S, por- 

 tano un contributo nullo all' integrale 1 ; e resterà quindi di- 

 mostrata con pieno rigore la forinola (4) del § 1. 



Dimostriamo dunque che L.^ è continuo nei punti del 

 piano AA^ A^. Ricordiamo anzitutto che L^, è uguale alla somma 

 di parecchi termini, ciascuno dei (inali è prodotto di due ftittori: 

 r uno dipendente soltanto dalla », e dalle sue derivate, T altro 

 dipendente dalla v e dalle sue derivate. 



I fattori dipendenti dalla v sono di une» dei tipi seguenti : 



(14) $^. (r), <^^ {V), A <ì>lf^, <I.^'3, ^ ^^., ^^., |. <l>>^':, ^ <I.^^'-3, ^ 



Ora, poicliè tanto la ii, (juanto i coefficienti Cr^,-.;. .,„ di •!> 



sono continui, insieme a tutte le derivate, che occorre conside- 

 rare, in tutto il tetraedro AA^ A^ Ay e che altrettanto accade 

 della V e delle sue derivate di ordine 1, 2,...., r — 3, basterà di- 

 mostrare che, se una delle (14) contiene qualche derivata della 

 V di ordine t — 2, oppure t — 1, essa continua ciononostante 

 a essere continua p. es. su AA,^ A^. 



Ora la l'a' (^0 contiene derivate della v di ordine non su- 

 periore ai — J'a ; potremo dunque senz' altro supporre ì\ = 1, 

 oppure J'a = 2. Ma in 'l'i i termini che contengono derivate di 

 ordine i — 2 si ricavano dal terniine di ordine massimo x di 

 $ (r), ossia dal termino 



(15) ,-^- M^ "^ 



sviluppandt> il prodotto siml)olico I n -^ Ir, e separando dallo 



