ISu alcune nuove applicazioni dei metodi di Picard e Riemann 17 



dove è 



<t, (1-) =z Xl^ A^^ Al" 



vdB)=j^^dt,...jldt,f^:dt,...l^^dt,...jldt„,...jl <!>, (r,.,) dt„, (i > 1) r, 



La t'g è poi la soinina di due funzioni ^, ■/ ; la <!> è una qua- 

 lunque funzione finita e continua con tutte le sue derivate entro 

 il tetraedro AA^ A^ A^, che sul piano a,, e sui segmenti AA^, 

 AA^, AA^ soddisfa alle (A), (A') ; x è la funzione data da 



X = -K<^^r-j"/lt.l^<it,...l^dt,...jl <i>,i'!,) di„, (•) 



Con un artificio analogo a quello usato per dimostrare la esi- 

 stenza della funzione », si dimostra che la serie r=£t7, converge, e 

 che rappresenta un integrale dell' equazione $ (u) = 0. La v e 

 le sue derivate sono poi continue in tutto il tetraedro, eccetto 

 al più sui triangoli AAiA^ AA^Aj, AA^Af-, però, per quanto 

 abbiamo detto, possiamo affermare che su questi triangoli la v e 

 le sue derivate di ordine 1, 2, x — 3 sono continue. 



Io dico che queste proprietà della r sonc» sufficienti, affinchè 



all'integrale /=/ 1— ' + V" + y-lfl ^S si possa api»licare 1' inte- 

 grazione per parti, ossia affinchè valga la (4). 



Per dimostrare questo, osserviamo che uniche su))orHcie di 

 discontinuità possono essere i triangoli AAj A^, AAi A^, AAì A.^ 

 {i > 4) ; faffUamo perciò il nostro tetraedro in tante porzioni 

 JS^, /S'j,...., Sh in guisa che una di queste porzioni sia limitata 

 o da parti del contorno del tetraedro iniziale, oppure da pezzi 

 di questi triangoli. In ciascuna di queste porzioni S^ del te- 

 traedro AA^A^A^ potremo evidentemente applicare il solito pro- 

 cedimento di integrazioni per parti, trasformando così l'integrale 



(*■) Come precedontemente, il segno /_ dt/ deve essere ripetuto -, volte (i =: 1, 2,..., m). 

 Atti Acc. Serie 4", VoL. XVIII - Meni. V. S 



