Hu alcune nuove applicazioni dei metodi di Picard e di Eiemann 27 



Es. I.) L' integrazione dell' equazione I* del § 2 è ricon- 

 dotta dal metodo di Kienuinn a un' equazione del tipo 



|!i I |?i + |fi _ s « = quantità nota ; (*) 

 questa equazione è così ricondotta dal metodo di Riemann a 

 un' equazione, che si integra con sole quadrature e di cui un 

 integrale n è determinato senza ambiguità dai valori che esso 

 ha su S. Resta così anclie implicitamente dimostrato, che l' in- 

 tegrale u della F (») = 0, che su 2 assume valori determinati 

 insieme alle derivate di ordine 1, 2, 3, è unico in tutto li; in 

 altre parole il metodo di Riemann dimostra anche per la nostra 

 equazione il teorema di xnififò. 



Es. IP). Le equazioni F (n) = per cui m=Ò. t,^l (i<5), 

 e per i cui coefficienti sono soddisfatte le condizioni di Riemann 

 si trasformano col metodo suesposto in un' equazione alle deri- 

 vate parziali del IP ordine, del tipo 

 Jlli^ I « ^* _j_ ft ^ _]_(.„ = riuantità nota; dove a, h, r sono fun- 



dt, dt, ' dt, ' dfi ' ' 



zi(mi di x^, x^, x^, e dove si ha: |: = «ù 2^ + *'-^ 9^ + '''•^a^j*=^'^^- 

 (.'on una trasformazione jiroiettiva di variabili, questa equazione 

 si trasforma in un' eciuazioiu- del tipo ^jrj^^ '^ ^ dx ~'^ ^ dx^'''' " ^ ~ 

 quantità nota, dove la .r^ si può evidentomcnte considerare come 

 un parametro. 



Ora per questa equazione è ben noto che il metodo di 

 Riemann dimostra i teoremi di unicità, i quali verranno così 

 implicitamente dimostrati per la nostra equazione di partenza. 



Nel (!as() generale il metodo di Riemann riduce 1' integra- 

 zi(ìne di una equazione F (») all' integrazione di una equazione 

 di ordine minore ; quando questa è integrabile per quadrature, 





