.S')( aìcnne ìiuove appìicazioni dei metodi di Ficard e Riemann 25 



zioni p. es., che hanno i coefficienti analitici (cfr. Le Koiix e 

 Delassus loc. cit.) (*). 



Il metodo di Eieniann si può applicare poi a queste equa- 

 zioni più generali quasi senza alcuna nioditìcazione , perchè 

 anche nel caso attuale si riconosce lecita la integrazione per 



(*) Auchc, quamlo i eneffloionti della F, <I> non sono fnuzioni analitiche, si può ancora 

 in qualche caso particolare riconoscere le legittimità dell' applicazione del metodo delle 

 approssimazioni successive. 



Ecco qui un semplice esempio, che basta a mettere in luco il modo, con cui si possono 

 modificare in tali casi i ragionamenti del ^ 2. Sia data 1' equazione 



Xj Xi....Xm-\ Xm w — a A'm-l i» — *io = 

 dove a, b sono funzioni regolari delle x„ x^, x, e dove è p. es. (A'm-i A"„,) = X A'n,. Si 

 tratti p. es. di determinare quell'integrale te, che sulla superficie 1 (cfr. ^ 2) assume valori 

 prefissati, insieme alle sue derivate di ordine 1, 2,..., m — 1. 



Al solito si pone i" =: w„ + w, + ii'j + tl"vo il termine io, (i>0) fe determinato 



dalla condizione di annullarsi insieme alle derivate di ordine 1, 2,..., - — 1 su 2 e di sod- 

 disfare in R alla condizione 



A-, A-., ... A'^_i A'„, (Wi) — a Xm-ì (m-ù + lifi-i- 

 R è quella regione tale che la traiettoria della Xn (k z= 1, 2,... m) uscente da mi suo 

 pnnto generico A incontra 2 in un punto .1^ e in un punto soltanto. 



Posto lungo ([uesta traiettoria 



<?»(! "~ <?*2 "" ?*;i ~ 

 avremo che il valore di ic; nel punto A è dato da 



(18) Wi {A) — I j^^^ (»„, \\,^_^ '"'"-1 fj, '"s fj, t" -^''"-^ (*'-l) + ^^i-\\ àt^ 



Col segno /' (fc =; 1, 2,.., m) intemlo significare che 1' integrazione deve essere fatta 



sul segmento AAti- Si tratta ora di costruire l'espressione a A'm-i («■()+ iw'ó <•» ««' con nuovo 

 integrazioni otterremo poi il valore di ic+l. Tutta la dìftìcoltìl sta evidentemente nel cal- 

 colare la A'„,_i (»',:) in modo opportuno, iisaiido soltanto delle quadrature. Osserviamo ohe 



per ipotesi 



X,n (.V,,,-,) = A-,„_i (A-„,) - X A-„. : 

 quindi 



A-,„ [A-,„_i (»•,)] = - ). X,n (i^,) + A-„,_, [A-„, (u.,)] 

 e quindi 



A-,„_i (w,) = — \\^^ X A-„, (w,) rf(,„ -f \\^^ Xm-\ (A-„, Wi) rf/,„ 

 Ora per costruire A',„ (wì), o A',„_i A',„ (w,) basta sopprimere nel secondo membro 

 della (18) rispettivamente il primo o i primi due segni di integrazione; la formola precedente 

 dà quindi senz' altro il mezzo di costruire la X^-i (i»;) e perciò anche la Xm-\ ('«'i) + '""t 

 (in funzione della a Xm-i ("'(-i) + bvn-\\ con sole quadrature; e si può quindi nel solito 

 modo dimostrare la convergenza delle serio fornite dal metodo delle approssimazioni suc- 

 cessive. 



Atti Acc. Skkie 4*, Voi.. XVIIl - Meni. V. 4 



