Su alcune nuove aiìpUcnzioni dei metodi di Picard e Riemann 



§ 2. Prima di pi-ocetlere oltre nell'espovre il metodo di Rie- 

 mann, è opportuno soffermarci su quanto dicemmo nel § 1, com- 

 pletando e precisando le nostre asserzioni per mezzo del metodo 

 delle approssimazioiii successive di Picard. 



Anzitutto noi comiiicieremo dall' osservare che noi suppo- 

 nemmo note su Z la ii e le sue derivate di ordine 1, 2,...., t-i 

 Ma ora noi ci chiediamo : Si possono scegliere a piacere su S 

 i valori della u e di queste sue derivate f Si può dimostrare ap- 

 punto che questi valori si possono dare ad arbitrio (purché na- 

 turalmente siano scelti in modo compafihile) (*) e che sempre 

 esiste in R un integrale n della equazione F (n) =: 0, tìnito e 

 continuo insieme a tutte le derivate die occorre considerare, in 

 guisa che su S esso e le sue derivate di ordine 1,2,...., t-i assumano 

 i valori pretìssati. La dimostrazione si ottiene col solito metodo 

 delle ait])rossimazioiii successive. Posto 



F (M) = -F, {«) - F, (».) 



dove è i\ (») = XC -V,,;'" (»)i scriveremo 



u = «„ + '*i + "2 + 



dove i\ ("0)=^' ^'1 ("') = ^'i ("'-•) ('— ^) '" ^' *^ ^^^^^ ^" ^ ^'^ 

 Hq e le sue derivate di ordine 1, 2,...., t— 1 assumono i valori pre- 

 fìssati, mentre le ». («>1) e le loro derivate di ordine 1, 2,...., -1 

 si annullano su Z. Costruiamo in R una funzione 9 ; questa 

 funzione, e le sue derivate di ordine 1, 2,...., -_i prendano su S 

 i valori prefìssati; poniamo poi »g^<? + i». Per determinare k^, 

 basterà costruire una funzione w, che su S si annulli, insieme alle 

 derivate di ordine 1, 2, , x — le che in 8 soddisfi alla equa- 

 zione F^ (<!') = — F^ ('f). 



(*) Ciò equivale a «Tire cht? si possono protìssaro ii'l ai-liitiio su Z i vaio 

 sue derivate uormali ili ordine 1, 2, , t — 1. 



