Doti. Francesco D^ Amico I Memoria XI. 



§ 13. — Assegnata così la r'" si dimostra che « per il si- 

 .stema di curve (p'jj, , d', r''*) passano sempre tre superfivie — e tre 

 sole — come le Tt'^j, , x'^gj , ^'^gj » ; cioè : la dimensione ì/ del si- 

 stema delle x'(,^ (/^1,2,3) è uguale a zero. 



Infetti il sistema oo'" (*) di superficie, contenenti le 2^\i) e 

 la d con le stesse molteplicità che la x',,^ (§ 5), stacca sulla r'" 

 una serie lineare di ordine n = 24. Se r è la diìnensione di que- 

 sta serie, sarà evidentemente y/ = 10 — (r -\- 1). Intanto, essendo 

 la r'" del genere p = 9, risulta n (= 24) > 2 p — 2 ; cosicché la 

 serie lineare in discorso è certamente non sjìeciale, e si avrà : 

 n — r >_p, da cui r < 15, onde // [= 10 — (>• -^ 1)] > 0. 



D' altra parte si osservi che la d', come pure le sette corde 

 (§ 12) di r'* — incidenti le due rette p\,-^ , doppie per le Tz\f^ prese 

 a considerare — appartengono certamente a tutte queste superfi- 

 cie it'(,y Ma per queste linee basi non può passare più d'una su- 

 perficie irreduttibile x'^,., con i caratteri detti sopra; dunque : « Da- 

 ta come sopra la r''*, esistono sempre tre superficie irreduttihiU del 

 quinto ordine^ e tre sole^ passanti per le linee r'", p'^.-j e d' con le 

 stesse molteplicità die le tre superficie ic'^,) ». Si esclude poi facil- 

 mente che per quelle linee passino delle superficie riduttihili co- 

 me sopra. 



Le T^% e Tt'^^ individuano un fascio !^y ,^,/,, . (p',3,)% d', (>',3„r' ' ^^ 

 superficie del quale non incontrano il piano ^,3, d' fuor delle li- 

 nee basi (^/js), d' , 0^8)): dunque tal piano si stacca da una certa 

 superficie del fascio , e ciò che rimane è una superficie tp"* del 

 (fuarto ordine contenente semplicemente le p\;^ e la r' . 



Due di queste superficie, se esistessero, avrebbero a comune 

 una curva complessiva del 17" ordine; epperò: « esiste sem2)re una 

 superficie irriduttibile del quarto ordine, ed una sola, contenente 

 la r"* e le p'ji, semplicemente ». Anche qui si esclude che ne pos- 

 sano esistere di riduttihili. 



(*) M. NoETHER « Ueher Flachen, welche Seharen rafionaler 



