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PRIX DECERNCS pour UANNEE 1858. 



]o Grand prix des sciences malhematiques. 



Legendre, dans sa Theorie des nomhres (t. II, p. 76 de I'edition 

 de 1830), enonce et croit meme deinontrer la proposition suivante, 

 qui si elle etait bien etablie, serait a la fois tres-remarquable et 

 tr6s-importante : 



(( Soil donnee une progression arithmetique quelconque, A — C, 

 2 A — C, 3 A — C, etc., dans laquelle A et C sont premiers entre 

 eux; soit donnee aussi une suite B, X, ^,... , vp, w de k nomhres 

 premiers impairs, pris a volonte et disposes dans un ordre quel' 

 conque ; si I'on appelle en general tt^ le s'"^'"" terme de la suite na- 

 turelle des nombres premiers S, 5, 7, etc., je dis que sur t:'''— * 

 termes consecutifs de la progression proposee , il y en aura au 

 moins un qui ne sera divisible par aucun des nomhres premiers 

 9, /, [).,,.., vl'j w. 



Mais la demonstration de Legendre est evidemment insuffl- 

 sante, et I'Academie avait propose pour sujet de prix la question 

 suivante : 



« Etablir rigoureusement la proposition ci-dessus enoncee, dans 

 le cas oil elle serait exacte, on, dans les cas contraire , montrcr 

 comment on doit la remplacer. » 



Cinq memoires ont ete presentes au concours. 



La commission a particulierement dislingu6 le memoire inscrit 

 sous le n° 1, dans lequel le mode de demonstration de Legendre 

 est etudie avec beaucoup de soin et d'exactitude. L'auteur con- 

 clut de cette etude que le theoreme n'est pas exact dans les termes 

 dont Legendre s'est servi, et il donne des exemples qui, sur ce 

 point, ne laissent aucune place au doute, et sont ^tablis par des 

 raisonnements reguliers qui pourront peut-etre servir a determi- 

 ner le veritable maximum que Ton doit substituer a la limite t:''-' 

 donnee par Legendre. 



Malheureusement, aucun des concurrents n'a jusqu'Ici obtenu 

 de rdsultats positifs assez precis pour qu'on puisse les considerer 

 comme susceptibles de remplacer le tbeoreme de Legendre ; et 

 les considerations qui terminent le memoire n" 1 n'apprennent 

 rien sur I'exactitude des propositions importantes en vue des- 

 quelles Legendre avait etudie la question. 



Nous avons decide, en consequence, qu'il n'y a pas lieu b. de'- 

 cerner le prix. Consid^rant cependant que l'auteur du memoire 

 inscrit sous le n° 1 avec la devise Scientia mirabilis arithmetica, 



