COSMOS. ^ 



rametre indetermine, comme Euler l'a tente d'abord. Je suppose 

 done que toute fonction it qui doit changer de forme, contient, 

 outre les variables principales x, y, z, . . le parametre indeter- 

 mine a, et j'appellc varialion de u sa derivee prise par rapport 

 a a. II y a encore certains avantages a regarder les variables 

 principales elles-memes comme autant de fonctions inconnues, 

 variant avec le parametre a. Cela pose, si l'on admet cette hypo- 

 these, la fonction u dependra du parametre a tant explicitement 

 qu'implicitement par l'intermediaire des variables principales 

 x, y, -, ... et il en resultera deux especes de variations, qu'il con- 

 vient de distinguer par des noms et des signes differents. J'ap- 

 pellerai variation Male et je designerai par Du la derivee totale 

 de u relalive a a, tandis que la derived partielle correspondante, 

 prise en regardant x. y, z, . . comme des constantes, sera appelee 

 (suivant Cauch\) varialion propre, et designee par du. Quant 

 aux variables principales, cette distinction n'a pas lieu, et l'on 

 pourrait employer indifferemment le signe D ou o pour leurs va- 

 riations. 



Partantde ces principes, je me suis propose d'evaluer la va- 

 riation d'une integrale multiple par la seule methode des limites, 

 et sans recourir a aucune consideration des inliniment petits. J'y 

 suis parvenu par un artifice bien simple, qui repose essentiellement 

 sur un cbangement de variables , et que je vais signaler en peu 

 de mots. 



II s'agit de trouver la variation d'une integrale multiple 



S=/// . . Ydxdydz . . 



a limites variables ; en admettant que les limites soient continues 

 et que l'integrale doive s'etendre a toutes les valeurs de x, y, z, .. 

 qui satisfonv a l'inegalite L < o, L etant une fonction de off, y, z,.. 

 a forme variable. J'introduis pour un moment a la place de 

 x, y, z, . . d'autres variables I, n, K, : ■ independantes de a, et je 

 designe par 



da= d. { d'i + a^dr, + a 3 d£ + . . . 

 dy xj= 6, d\ + & a dr, + b 3 d'Q + . . . 

 dz = c K dc, + c 2 dr, ■+- c 3 dt, + . . . 



les relations diflerentielles qui ont lieu entre les deux systemes 

 de variables. Par suite de cette transformation l'integrale proposee 

 se reduit a 



