COSMOS. h55 



« Les ouvrages qui traitent de la ge'ometrie elementaire ne don- 

 nent pas les moyens de calculcr les volumes des polyedres re'gu- 

 liers. On peut cepcndant, par des considerations geome'triques 

 elementaires tres-simples , determiner les valeurs des rayons et 

 des apothemes de ces corps. 



II suffit en effet de chercher une ligne connue qui repre'sente 

 la longueur de la tlroite qui joint le centre da polyedre avec le 

 milieu d'une arete, ou la bi«sectrice de Tangle de deux faces du 

 polyedre, puis d'inscrire ou de circonscrire a la circonference 

 circonscrite au polygone des faces un polygone dont Tangle au 

 centre soit e'gal a Tangle de deux rayons ou de deux apothemes 

 consecutifs du polyedre. 



Le rapport de la longueur du rayon du polyedre et du rayon 

 du polygone des faces, et le rapport de la longueur de Tapo- 

 theme du polyedre et de Tapotheme des faces est le meme que 

 le rapport de deux lignes connues, inscrites dans la circonference 

 circonscrite au polygone des faces, ou dans une circonference 

 ayant un rapport simple avec cette derniere. 



On peut done construire les rayons et les apothemes des cinq 

 polyedres re'guliers, au moyen d'une quatrieme proporlionnelle a 

 trois longueurs connues. 



Tdtrdedre regulier. — La bissectrice est la demi-diagonale du 

 carre dont le cote est la moitie de Tarete. 



Le rapport du rayon du tetraedre au rayon du'polygone des 

 faces est le meme que le rapport du cole du triangle regulier des 

 faces ou de Tarete au cote du carre inscrit dans la circonfe- 

 rence dont le rayon est le rayon des faces. 



Le rapport de Tapotheme du tetraedre etde Tapotheme des 

 faces est le meme que le rapport du rayon des faces au cote du 

 carre inscrit dans la circonference dont le rayon est le rayon des 

 faces. ■ 



Le volume du tetraedre regulier en fonction de son arete est 



75 1/3. A 3 . A e'tant toujours Tarete. 



Hexaedre regulier. — La bissectrice est la moitie de la diago- 

 nal du carre des faces. Le rapport du rayon de Thexaedre au 

 rayon du polygone des faces est le meme que le rapport du cote 

 du triangle regulier des faces ou de Tarete au cote du triangle 

 regulier inscrit dans la circonference dont le rayon est les deux 

 tiers du rayon des faces. 



L'apotheme de Thexaedre est egal a Tapotheme des faces. Le 

 volume de Thexaedre regulier en fonction de son arete est A 3 . 



