^8 REMARQUES SUR LA THEORIE DES NOMBRES 



On peut choisir a de manière que (ST+S'T' — a/jf soit moindre que//. 

 Conséqueminent, il esl toujours possible de satisfaire à l'équation 



/«'-+- I = P7, (52) 



dans laquelle p est un nombre premier, impair, el [x, un uoinl)re entier, 

 inférieur à p (*). 



Elle a même forme que 



Q? + I = r.q; (15) 



Donc on y satisfait par 



^ = Qi = QQ' + RK', /) = R, = Q' + IV, <i = Q" + R'^ ... (8) 



2o. Remarque. Le nombre q est la somme de deux carrés, de même 

 que p. De plus, Q' el R' sont premiers entre eux. Enfin, comme Q et R 

 sont de parités différentes, /j a la l'orme kk -\- 1. 



2G. Corollaire. Tout nombre premier, impair, diuise un nombre ayant 

 la forme p- -f l- l^n outre, p — 1 est résidu quadratique de p (**). 



27. TmiGKÉME. Tout nombre premier p, de la forme 4k + 1 , est la somme 

 de deux carres (Fermât). 



Le théorème précédent (2o) peut être considéré comme établissant celui-ci. 

 En voici une autre démonstration, fort ingénieuse, due à M. Hermite (***). 



Sup|)osons 



^^-t- l=pq,(-) (32) 



Réduisons- en fraction continue. Soient ^, ^, deux réduites consécutives, 

 satisfaisant aux conditions 



M < 1//I, N > l/^. 



(*) S'il en est ainsi, /) — 1 est résidu quadratique de /). 

 (**) l.a première partie a été démontrée ci-dessus [20!. 



('**) Journal de Lioiwille, 1848. Nous essayons de la réduire un peu, et de la compléter. 



('") L'illustre Géomètre, qui était bien jeune en 1848, aurait dû, peut-être, prouver 



ou rappeler la possibilit(! de cette équation (32). Aujourd'hui, il serait moins laconique. 



