ET SUR LES FRACTIONS COiNTINUES. 17 



23. Autre remarque. Il peut exister plusieurs couples de résidus, égaux 

 à p (*). 



Ainsi, dans le cas où p = \d, les résidus quadratiques sont 



1,4,9,5, 12,10,12,...!. 



Or 



\ -»- 12 = 3 -4- 10 = 4 -t- 9 = 13(**). 



VI 



Décompositions en carrés. 



24. Théorème. Tout nombre p, premier impair, qui divise la somme 

 de deux carrés, premiers entre eux, est la somme de deux carrés (***). 



Supposons que p divise T" + T'-, T et T' étant premiers entre eux. 

 Soil ^ l'avanl-dernière réduite de -.. Le nombre p divise 



{V + T")(S- + S"') = (TS -♦- T'S')- + (TS'— STf. 



Le dernier carré est 4. Donc p divise 



(TS + T'S' — ap)' -h \. 

 (*) J'entends, par là, qu'on peut avoir 



« + «' = 3 -1- i3' = y-i- ■y'= ■■■ — p. 



La détermination du nombre de ces couples égaux est, peut-être, un problème difficile 

 à résoudre. 



(*') On peut généraliser, en considérant trois, quatre... résidus. 



A cause de 



l«-t--2'-t-o^-l \-ili— li'= , 



b 



il est presque évident que : 



Si p suri>assL' 3, la somme <les '^-^ premiers résidus est divisible par p. 

 (***) 11 est inutile, évidemment, de considérer le nombre 2 = 1'-+- 1'. 



Tome LU. 3 



