i4 REMARQUES SLR LA THÉORIE DES NOMBRES 



1C. Limite de \\. En la désignant par V, on a, comme on sait, 



1 



V = a -i — . 

 V 



OU 



V^— aV— 1 =0; 



d'où 



V = - (a -t- l/çi' -t- 4) (23) 



Telle est la limite de la fraction a, a, a, ... 



17. Remarques. \. Lorsque a est un nombre entier, celte limite est 

 incommensurable ; car il n'existe pas de carrés entiers qui dilïèrent de 4. 

 Mais, si Ton prend 



" = T-^' (26) 



a et j3 étant des nombres entiers, on aura 



a 

 V=- 



quantité rationnelle. 

 Par exemple, si 



« = 2, p=l, (27) 



on trouve 



3 



a = - V = 2. 



2 



Ainsi, la fraction continue 



3 3 3 



2' 2' 2 

 a pour limite le nombre 2. 



H. a élanl une quantité quelconque, %,^, est, algébriquement, divisible 

 par u,,; mais, si a est remplacé par une fraction numérique, le terme %,^| 

 n'est pas, arit/wiétiquement, divisible par u„ (*). 



IIL a étant un nombre entier, les termes de rang impair, à partir d'une 

 certaine valeur de n, ne sont pas premiers. Par exemple, dans la série de 

 Lamé, aucun des nombres 8, 21, 55, ... n'est premier (**). 



(*) On retrouve ici ce qui est bien connu, relativement à la divisibilité, soit algébrique, 

 soit aritlimélique. 



(**) Au contraire, dans cette même série, les termes o, 13, 89, 1 597, ... sont premiers. 



