8 REMARQUES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



6. Aulre remarque. L'avant-dernière réduite de y étant-; si, dans la 



Ci' 



valeur de x{ft), on remplace r par >' + ^, on aura ravant-dernière réduite 

 de u. On trouve, ainsi, la fraction irréduclible ^^...'!^^^„ ' 



7. Propriété importante. Soit, comme ci-dessus, 



u = a, b, c, ... p,(i,r, r, (/,]),... c,b, a (9) 



une fraction continue symétrique. On vient de voir que ses deux dernières 

 réduites sont 



^ =— , — = -, t ) V 13) 



Donc 



Le numérateur de l' avant-dernière réduite de w est égal au dénominateur 

 de la dernière; ou, sous forme abrégée, 



Oi = R;. ■ ■ (14) 



8. Autre propriété. La réduite ~ étant de rang pair, on doit, en appli- 

 quant l'égalité (42), adopter le signe — . Ainsi 



Q,r; - P,Q' = - 1 ; 



ou, à cause de la condition (i'I), 



Qf+1=R,Q;; (Ib) 



ou enfin 



(QQ' + RR'f -t- t = (Q' -V- R') (Q'^ + R") ■ (!«) 



Cette égalité nous servira plus loin (**). 



(*) J'emploie les notations Q,, Q',, R,, W,, pour simplifier. 

 (**) On peut encore la démontrer en observant que 



1=(QR' — ROf (12) 



