26 REMARQUES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



L'équation (50) est 



d -f- 4 -t- d = Or/', 

 OU 



On trouve ensuite, par les formules du n" 37, 



„" =-18, 6" = — 276, < :'■ = 72, d' = 1 52. 



Par conséqueni, 



18' H 27e'' i- 72'' -t- 152'' = 6'/', 



ou 



;, = 3' -+- 4(.' 4- 12'' + 22' = y -+- 2 MO -t- 144 -+- 184 = 2 755; 



ce qui est exact. 



40. Théorème de Bachet. Tout nombre entier est carré ou est la somme 

 de deux, trois ou quatre carrés. 

 '1° Soit 



p, q, r étant premiers, impairs. 



On vient de voir que ciiacun de ces facteurs, p, par exemple, est la somme 

 de quatre carrés, au plus. Donc, par Tidenlité d'Eulcr (36), si N n'est pas 

 carré, ce nombre est la somme de deux, trois ou quatre carrés. 



2° Si 



N = 2VV''° -^ ' 



comme 



2 = 1' -H 1', 



est la somme de deux carrés : la conclusion subsiste. 



