ET SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 25 



Si «7'= 1, on a 



le théorème est démontré. 



Mais l'équation (53) a même forme que l'équation (50). Donc, l'application 

 du procédé employé donnera une équation 



rt"'-^ + 6'"2 + f"'*+. rf"" = /)(/", (34) 



avec la condition 



7" < n'- 



Les nombres entiers q, q', q", ... allant en diminuant, le dernier d'entre 

 eux sera 1. G. Q. F. D. (*). 



39. Application numérique. Soient 



A = 48, li = 59, C = C2, D = 83; 



de sorte que 



N = 2 304 H- 3 481 ^- 5 844- + 6 889 = 16 518. 



N est divisible par le nombre premier 2 753. Ainsi, il faut décomposer 2 753 

 en trois ou quatre carrés. 

 Évidemment, 



puis 



, = c 



Ensuite, 



a = ± (48 - Ca), // = =fc (59 — 6|3), c' = ± (62 - Gy), d' = ± (85 — 6â) ; 



puis 



o' = 0, // = — 1, c' = 2, (/'= — 1. 



(*) Cette démonstration est due, je crois, à Legendre. Mais, dans la Théorie des Nombres, 

 elle est un peu difficile à suivre. De plus, l'illustre Géomètre suppose que tout nombre 

 entier N, admet un diviseur premier, supérieur à l^N; ce qui n'est pas. Voir, sur ce point, 

 les Mélanges malhématiques, t. Ht, p. 160. 



Tome LU. 4 



