24 REMARQUES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



q élanl un nombre entier, et les carrés cr, //, c-, d- satisfaisant aux conditions 



4 4 



Si 

 Téquation se rétiuil à 



p = (t* -t- 6^ -4- r -(- f/'. 



Ainsi, le nombre p serait la somme tie quatre carrés, an plus; et le Ihéorème 

 serait démontré. Supposons donc </>!. 

 Nous avons 



JH, < 4 i^^\ 



ou 



7<;' (49) 



Le (jnotient «y dixise 



«' -1- Ir -y- r -+- (/■'; 



donc il divise 



(„ _ rj.qf + ((, - pqf + ^r - rr/)^ + {<l - Sqf. 



On peut cboisir les entiers «, /3, 7, J, de manière que chaque carré soil 

 inférieur à \ q-. Ainsi, sous forme abrégée, 



0'" -4- 6" + f" + rf" = qq', (SO) 



avec la condition 



7'<7; (sn 



puis, à cause de Pégaiité (-tS), 



((,2 + /j* + c» + ,/2j(„.î ^ ^'2 ^ e-2 ^ ,/.!j _ j„iy (3-2) 



On a vu, précédemment [37], que le premier membre est divisible |)ar q-. 

 La suppression de ce fadeur donne une nouvelle équation : 



■ a"'i-^"*-t-c"' -4- </"' = ;)7' (53) 



