ET SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 23 



36. Lemme. a, b, c, cl, u', b', c', d' élaol des nombres (|tielconques, on a, 

 idenli(|uement, 



(„' ^ /,» + c- -+- d') (o" -f- /»•* -+- c'- + (P) = \ 



[au ■+■ hh' ■+■ ce -h dd'f -\- [ab' — lia -¥■ cd' — di-'f > (*; . . . . (4u) 

 -H [ac — eu' ■*- dli' — hd'f -t- («6' — ha' -+- hc' — di')' j 



.'{7. Remarque. Si l'on suppose 



«* -+- 6' -4- r' -4- (/* = nrj. 

 u' =a — «a, // ^ h — «jî, (•' = c — ny, d' == d — nS, 



n, q, a, /5, ^, 3 élaul des nombres entiers, on a 



ua -V- /)// ■+■ Cl' -4- dil' = nq — ii («a -+- hp -+■ cy ■*- (M), 

 «6' — hft' = «(/)'/ — «S); elc 



En conséquence 



(„- -t- 6^ + c- + d') (a'- -H 6''' -4- c" -4- f/") = [M(m)]', 



on 



38. Théorème. Tout nombre premier impair, qui divise une somme de 

 quatre carrés, premiers entre eux, non rédaclilAe (**), est la somme de trois 

 ou de quatre carrés. 



Soit 



N = A' -4- B^ -4- e + D' = M(p) (47) 



Divisons, par p, les nombres entiers A, B, C, D, en prenant chacun des 

 quotients par défaut ou par excès, de manière que le reste correspondant soii, 

 en valeur absolue, inférieur à 4 P- 



Nous pouvons écrire, au lieu de cette égalité, 



a 



,'-4- ^' -4- c- + fr=pf/, (48) 



{*} Identité d'EuIer. 



(**) Cela signifie que le dividende, s'il est la somme de quatre carrés, n'est pas la somme 

 de trois carrés ou de deux carrés; etc. 



