n REMARQUES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



32. Remarque. Un nombre premier, de la forme 4/.- — i, peu! êlro, 

 à Ir fois, la somme de trois carrés et la somme de quatre cairés. 



Exemple : 



1 !» = 9 -f- 9 4- 1 = 16-4-1 -t- 1 + I . 



33. Suite. Dans ce même cas, p\ somme de trois carrés, peiil élre la 

 somme de quatre carrés. 



Exemple. Soit 



On a 



p' = 3f,l = 17' -+- c' -+- (;■'= 16' -4- \o' + t>- -+- V. 



34. Théorème. Tout nombre premier, p, divise une somme de deux, trois 

 ou quatre carrés, premiers entre eux (*). 



Considérons, seulement, les deux derniers cas. 



On peut toujours, le nombre p étant donné, satisfaire à l'équation 



X- -+- x" H- 1 = ^l(p), (50) 



dans laquelle x et x' sont inférieurs à p. 

 Si Ton ajoute /r aux deux membres, on a 



X' -+- x'^ -4-1-1- P' = iM(7;). 



La première é(|uation a la forme 



A'-^-^- B- -+- t:»=M(/)); {i'2) 



et la seconde, celle-ci : 



A' -t- B^-+-C'-t- D' = >!(/)) (43) 



C. Q. F. I). 



3o. Remarque. L'é(|uation (43) est, comme on Ta vu, réductible à 



a^ ^ b' + c^ -^-d■'==M(p)■, (U) 



a, h, c, d étant des résidus quadratiques, moindres, en valeurs absolues, 

 que^. 



(*) Cette proposition, essenlieUe, a été omise par Legendre. On la trouve dans VAlgèbre 

 supérieure, de Serret (t. II, p. 98). 



