ET SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 24 



lil. Théorème. Si un nombre premier, p, ii'esl pas la somme de deux 

 carrés, p'^ est la somme de trois carrés (*). 

 1" Supposons 



p = ((■' -f- b- + C'. 



On a, i(lenti(|ucnient, 



jf = (u^ + h^ + c^f =. {a' ^ h' — c^f + {'■lacY + {-îbcf . . . . . (39) 



On ne peut avoir, ni r = 0, ni c- = «-+ 0^; car, dans le premier cas, 

 p sérail la somme de deux carrés; et, dans le second, ce nombre impair 

 serait égal à 2(a^ + b-). 



2" Soit, maintenant, 



;) = ce' ■+- II' +- ( " -4- (/' ; 



puis 



)/' = (u' ■*- /;•' - (•- — (/"j* -+- 4(a- -*- //-)(c- H- (/'). 



Le dernier (ermc est réductible à (2/)'- -t- (2//)"', en faisant 



f=uc±hd, fi^ml^ihc (40) 



Ainsi 



p'=.(a' -i-h' — c' — dj + [-2[ac±bd)\-'+ [•i{ad:f:bc)Y . . . . (41) 



On ne peut supposer 



r'- ^ d' = a' + b'; 



car p serait pair. 

 Si ac = bd, on a 



;, = a' -*- fc' -+- c' -H d' rt 2ac qp '-^'''^ 



OU 



p = (a±cf + [b qz f/)^ 



contre l'bypothèse. Même conclusion si ad = bc (**). 



(*) Dans les Recherches sur quelques produits indéfinis (1873), j"ai conclu ce théorème, 

 de la considération des séries elliptiques, il restait à le démontrer d'une manière élémentaire. 



(**) D'après le théorème de Bachet (voir plus loin), il est inutile de supposer/; égal à la 

 somme de cinq carrés, de six carrés, etc. 



