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sicb schliessen, wird statt der Quadratwurzel der grundlegendeu 

 Cosinusdifferenz erne |m te Potenz eingefiihrt , wo 0^jjl<1; 

 ausserdem sind die einzelnen Glieder der Entwicklung mit 

 periodischen Functionen vielfacher linearer oder spharischer 

 Distanzen multiplicirt. Man erfahrt auf cliesem Wege die Exi- 

 stenz nicht allcin der periodischen Reihen mit einem variabeln 

 Argument, sondern auch solcher von doppelter Mannigfaltigkeit 

 und zwar von spharischem Charakter. Im allgemeinen Fall jji;>0 

 kann folgendes als das Hauptresaltat der sparischen Unter- 

 sucliung bezeichnet werden. Es existiren auf der Kugel vier 

 Hauptentwicklungen einer Function, welcben unendliche nalie 

 reelle Umkreisungen von vier Ausnahmepunkten , ausgefiihrt 

 unter Zubilfenahme quadratischer Oberflacbenelemente , zu 

 Grunde liegen. Als Ausnabmepunkte werden die vier Beruhrungs- 

 punkte von variabeln um einen Anfangspunkt construirten und 

 von festen mit dem spharischen Radius o um einen Punkt 3 f 

 gezogenen Kreisen gewonnen. Je nach der inneren oder ausse- 

 ren bierbei stattfindenden Bertihrung kommen audere Hilfsinte- 

 grale in Betrackt und liegen die die Reihenentwickhmg gestatten- 

 den Ausnahmewerthe in verschiedenen Halbkugeln. Die 

 Betracbtung ist bedeutend abzuandern , wenn in der Grenze 

 d = oder =n: und ebenso wenn 5=0 oder =k wird; es 

 erklart dies die Schwierigkeit, welche dem Uebergange vom spe- 

 ciellen Falle der Functionsentwicklung Diri chiefs zu den 

 allgemeinen Voraussetzungen entgegensteht. Zwar befolgt die 

 Abhandlung im wesentlichen den Gedankengang D i r i c h 1 e t 's ; 

 aber einmal sind statt zweier unabhangiger Hilfsintegrale deren 

 vier in Rechnung gezogen, soclann wird auch die spharische 

 Aufgabe auf die ihr zu Grunde liegende, von der linearen durch- 



aus verschiedene Normalform- zuriickgeflihrt. Erst hieraus wird 



die Bedeutung des Reductionsfactors A = j von spharischem 



auf das plane Problem klar ersichtlich, sowie diejenige der 

 Multiplicatoren M, welche der Function unter den Integralzeichen 

 beigegeben werden miissen, damit diese im Resultate sich isolire. 

 Nachdem tibrigens die Abhangigkeit der Entwicklungen nach 

 Kugelfunctionen von der periodischen Reihenlehre hervorgeho- 

 ben worden, entfiel die Nothwendigkeit, ihre Convergenz und 



