384 SUR UN MÉMOIRE DE DAVIET DE FONCENEX, ETC. 



la Geometrie eiiclidienae des surfaces appliquables à la splière, el la 

 Géoraélrie hyperbolique n est que la Geometrie euclidienne des surl'aces 

 à courbure constante negative , en sorte quii suffit de remplacer le pian 

 et la ligne droite par une surtìice à courbure constante positive où nega- 

 tive et par ses geodcsiques, et l'on obtient tous les théorèmes des géo- 

 métries non euclidiennes, du moins ceux qui se rapportent à la planimetrie. 

 Il n'y aurait donc pas aucune raison de poser trois géométries distinctes. 

 M. Beltrami a donne aussi le moyen de ramener à la Geometrie eucli- 

 dienne la partie stéroomélrique des nouvelles Géométries, en étendant 

 par analogie les l'orinules de la Geometrie analytique à trois diniensions, 

 formules l'ondées sur les principes euclidiens, à la théorie des fonctions 

 contenant quatre variajjles indépendantes. Par cette extension il n'a pas 

 voulu renoncer à la théorie euclidienne, qu il avait suivie dans son premier 

 Mémoire; il connaissait déjà en écrivant ce Mémoire le Iravaii poslhume 

 de RiEMANN sur les principes de la Geometrie puisqu'en finissant il an- 

 noncait son nouveau Mémoire sur les espaces à courbure constante. Il a 

 seulement généralisc la question d anaiyse qui se présenlait sous les ques- 

 tions géométriques traitées dans ce Mémoire (car pour moi les questions 

 relatives aux espaces diin nomhre quelconque de dimensions ne sont que 

 des questions d'analyse), et a fonde cette généralisation sur les formules 

 tirées de la geometrie euclidienne et nullement sur celles que fourniraient 



les aulres géométries. 



Je dois cependant reconnattre que M. Felix Klein a constate une 

 différence entra sa théorie et celle de M. Beltrami sur un point que le 

 dernier regardait comnie fondamental dans son interprétation de la geo- 

 metrie imaginaire de Lobatschefsky. M. Beltrami avait renianjué que 

 la propriété de la ligne droite de ne rencontrer une autre droite qu'en 

 un point n'est pas vériliée par les géodésiques des surfaces à com-bure 

 constante positive, et se trouve au contraire vérifiée par les géodésiques 

 des surfaces à courbure constante negative ; au contraire, dans la théorie 

 de M. Klein, la propriété indiquée peut se présenler dans les premières 

 surfaces et n'avoir pas lieu dans les dernières (*). 



M. Klein a aussi reconnu que I interprétation de la geometrie hyper- 

 holique au moyen des surfaces de courbure constante negative « malheureu- 



(') Malhanalisihe Annalen , loin. VI, pa^'. 125-126 (Lpipzig. 187,1). 



