PAR A.. GENOCCHI. 385 



» senient semble ne pouvoir jamais fournir I intuition du pian tout entier, 

 » Ics siirfaces de courbure negative constante étant toujours limitées par 

 » des arètes de rebroussement, etc. » (*). 



J'observe encore que la théorie de M. Beltrami se fonde sur un postu- 

 latum comme la geometrie d'Euci.iDE , e est-à-dire sur l'existence admise 

 mais non démontrée de surfaces ayant certaines propriétés, qu'il suppose, 

 et qui soni analogues à celles du pian; mais quoi quii en soit, il taudra 

 toujours reconnaìtre qu'on ne pouvait invoquer les écrits de cet auteur 

 comme lavorables aux principes des géouiétrics non euclidiennes: puisque 

 on ne pourrait d'après lui tirer de ces géométries aucun resultai qu'on 

 ne puisse égalenient tirer des principes euclidiens, et 1 on se passerait 

 ainsi très-bien de ce nouvel échafaudage. 



Pareillement les résultats obtenus par M. Klein en partant de certaines 

 géneralisations proposées par M. Gayley, bien qu'il ait voulu démontrer 

 qu'on y parvient nième en n admettant pas le postulatum d'EucLioE, et 

 qu'il en ait tire les trois géométries, s'expliquent complétement dans la 

 Geometrie euclidienne, comme il le démontre lui-méme (*''). Au point de 

 vue géomclrique 1 esprit peut étre clioqué de certaines définilions adoptées 

 par M. Klein: car les notions si sinijles et primilives de distaiice et 

 d'angle sont remplacées par des définitions compliquées, ainsi qu'il suit: 

 La distance de deux points est le logarithme multiplié par une cons- 

 tante arbilraire du rapport anharmonique de ces deux points et des deux 

 autres points oii la droite joignant les deux premiers points coupé la 

 surface fondamentale (surface arbitraire du second ordre qui coincide avec 

 Vabsolii de M. Gayley et avec \espace UmUe de M. Beltrami). 



L'angle de deux plans est le logarithme multiplié par une constante 

 arbitraire du l'apport anharmonique de ces deux plans et de deux autres 

 plans langents à la surface fondamentale conduits par la droite , inter- 

 section des deuv premiers plans. 

 Etc. 



M. Darboux propose assez judicieusement de nommer ces expressions 

 angles pai- rapport à la quadrique (QJ ( la surface fondamentale) (*'•'■). 

 Cela peut lever l'équivoque, et diminuer l'extravagance de ces cnoncés. 



('; lìullctin des Sciences math. et aslrnn. par MM. DabeoUX el HoùEL, 1871, pag. 345. 



(") Matliematischc Annalen , tom. IV', pag. 020. 



('*■) Mcmoires de la Son'éié ttc. de fìnrJeaux , loui. IX, paj». 114. 



