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M. Flye S"-Marie était déjà parvenu sans le secours du postiilatum 

 d'EucLiDE à démonlrer pour la distance D de deux poinls la formule 



P x,-Q 



^--2 """tr.-Q x^-PÌ ' 



■ ■i\'\i\i\.' Il )i| . 

 ou 



IR 



P x.-Q 



X, — Q x^— P ' 



qui rentre dans la définition de M. Klein, x, et x^, ctant les abscisses 

 des deux points, et P et Q celles des points de la ménie droite à distance 

 infinie (*). 



Dans les définitions que je viens de rapporter, le caractère analytique 

 est plus prononcé que le caractère géomctrique, bien qu'on ait pensé de 

 les attribuer à une branche ou extension de la geometrie projective. Mais 

 le caractère géométrique disparati tout à fait lorsqu'on applique les mémes 

 principes aux espaces ou 'vaviétés d'un nombre quelconque de dimensions; 

 alors la geometrie projective n'a plus rien à y voir puisqu il ne s'agit 

 que de questions d'analyse. Il suflira de iranscrire ici la définition que 

 donne M. Klein de ces variétés : 



« Si n variables x, , x^, , ... x„ sont données, le nombre n fois infini 

 des systèmes de valeurs qu'on obtient en faisant passer les x indépen- 

 damment l'un de Fautre par les valeurs réelles de -i- co jusqu'à -+- e» , 

 constitue ce que, d'accord avec la désignation habituelle , on nominerà va- 

 riété de n dimensions. Le système particulier de valeurs {x,, X^i, . .'. x^ 

 sera désigné cornine un élément de celte variété )> ("•''"). 



En suivant Cauchy, qui a introduit les noms de points analjtiques, 

 lignes analjtiques, etc. (***), on pourrait adopter aussi ceux de distances 

 analjtiques et à'angles analjtiques. 



M. Klein croit à l'utilité des considérations sur la nature de l'espace 

 qui ont conduit à la théorie des parallèles envisagée d'une manière gene- 

 rale , parce qu'on leur serait redevable d'une idée essentiellement neuve, 

 celle d'une oxa/^e/e arbitrairement étendue à courbure constante (****). Mais 

 i'observe qu'antérieurement à ces discussions, MM. Minding et Codazzi 



(*) Étuiles analijliques sur la tliéorie des parallèles (Paris, 1871), pag. 28 et 49. 

 (**) Malhcmatisclie Annalen , loin. VI, pag. 116. 

 (*»») Comples renclus, lom. XXIV, pag. 885 (1847). 

 (»»*») Mathsmatische Annalen, tom. VI, pag. 114. 



