3qo sur un mémoire de daviet de foncenex, etc. 



APPENDICE 



Sur fexisience de la ])seudosphè7'e et sur timjìossibilité 

 de démontrer le jìnstulatmn d'EucLiDE 



Je nomme pseudosphère une surface à courbure constante negative , 

 continue, indéfinie, et simplement connexe. 



On avait d'aborti appelé pseudosphériques loutes les surfaces de cour- 

 bure constante negative, et on allirniait que toutes ces surfaces jouissent 

 sans exception de la propriété d'avoir des géodésiques qui sont déter- 

 minees d'une manière unique par deus points comme les lignes droites , 

 et ne peuvent ainsi se rencontrer qu'en un seni point. M. Beltrami, 

 dans son Essai d interprétation de la geometrie non euclidienne, donnait 

 cette définition: « Pour éviter les circonlocutions, nous appellerons /JieM(/o- 

 sphériques les surfaces de courbure constante negative ». Il proposait 

 en ces termes la question sur la propriété des géodésiques : « pour ce qui 

 regarde le postulai de la droite (ou pour mieux dire, de la ligne géodé- 

 sique) , nous avons déjà remarqué quii se présente des exceptions sur la 

 sphère et par coiiséquent sur toutes les surfaces de courbure constante 

 positive. Maintenant, ces exceptions existent-elles aussi sur les surfaces 

 de courbure constante negative? En d'autres termes, peut-il arriver, sur 

 ces dernières surfaces, que deux points ne déterminent pas une ligne 

 géodésique unique? » Et il répondait: « On voit donc, que deux points 

 réels de la surlace (à courbure constante negative), choisis d'une ma- 

 nière quelconque , déterminent toujours une ligne géodésique unique 



Ainsi les surfaces de courbure constante negative ne sont pas sujettes atix 



