PAR A. GENOCCHI. Sgt 



exceptions qui ont lieu soiis ce rapport dans les surfaces de courbure 

 constante positive n ("). Mais dans ses démonstrations M. Beltrami faisait 

 appel ('••*) aux rcsnltats dun aulre Mémoire Sur les variables complexes 

 dans une surface (juelconque , qui délmle par cette remarque: « On doit 

 faire attention que tout couple distinct de valeurs des variables u. v 

 servant à exprimer l'élénient lineaire de la surface, détermine individuel- 

 lement un point (ou plusieurs pnints disjoints) de la surface, lequel (ou 

 chacun desquels) reste pour lui-niéme essentiellement distinct de celui 

 (ou de chacun de ceux) à qui répond un autre couple de valeurs non 

 identique au premier. La possibilité de la coVncidence, en un méme endroit 

 de l'espace, de deux points n'ayant pas les mémes coordonnees curvi- 

 lignes, n'arrive justemeut que lorsqu'on considère ou que Ton sous-entend 

 une confisuration determinee de la surfoce » ('"■'■). Une telle réflexion 

 paraitrait rendre extrèmement douteuses toutes les conoiusions auxquelles 

 parvenait l'auteur, car quelle que soit la surface à laquelle on veuille 

 les appliquer. on peut toujours affirnier quelle a une configuration de- 

 terminee, et cette configuration peut la mettre dans un cas d'exception. 

 En effet, on trouve ])lus loin dans le premier Mémoire une surface de 

 revolution sur laquelle « on ne pourrait appliquer effectivement la calotte 

 pseudosphérique qui entoure le point ii— v—o , sans altérer la conti- 

 nuité au moyen de quelque section opérée dans cette calotte à partir de 

 ce méme point » (■■'*^- ■•) ;• on trouve que u la zone de surface pseudosphé- 

 rique qui peut ètre réellement transformée en surface de revolution est 

 renfermée entre deux circonférences géodésiques équidistantes de la ligne 



géodésique | — o, laquelle se dispose suivant le parallèle minimum 



La longueur de la zone est indéfmie, et par suite la zone s'enroule un 

 nombre infini de fois sur la surface de revolution; à cette occasion il faut 

 observer que les points qui se superposent de cette manière les uns aux 

 autres, doivent étre toujours considérés corame distincts, sans quoi le 

 théorème , que par deux points de la surface passe une seule ligne géodé- 

 sique, cesserait d'étre vrai » (■•■•'"^•••■) : on trouve enfin la surface de révo- 



(■; Annales scientif. de VÉcole Normale stip.. tom. VI (1869), pag. 259, 255. 

 (") Ib., pag. 256. 



(***) Annali di matematica, ì'^""^ sèrie, lom. I, pag. 329 CMilan , 1868). 

 (**••) Annales scientif. de l'École Nortn., t. VI, pag. 271. 



(•*•") Ib , pag. 275 et 276. 



