3q2 sur un mémoire de daviet de foncenex, etc. 



lution engendrée par la Ugne aux tangentes égales , et on afBrme que 

 « sur cette surt'ace s'enroule une infinite de fois la surf'ace pseudosphé- 

 rique terminée à la ligne p == o si r^=: R » ('"). Dans un Mémoire 

 postérieur, M. Beltrami ajoute à la défiailion des surfaces pseudosphé- 

 riques la condition d'étre simplement connexes , et rappelle qu'une portion 

 quelconque de ces surfaces peut ètre appliquée d une infinite de manières 

 sur cette surface de revolution et enroulée une ou plusieurs fois autour 

 d'elle. On reconnait que sur cette surface de revolution laquelle n est 

 pas simplement connexe plusieurs lignes géodésiques passent par deux points 

 donnés ('■"'■). 



Ainsi M. Beltrami suppose mais ne démontre pas l'existence de la 

 pseudosphère telle qu'on la définie. M. Helmholtz paraìt (d'accord avec 

 M. Klein) esprimer très-nettement qu'une surface pseudosphérique, con- 

 tinue, indéfinie, n'existe pas, mais propose un moyen d'y suppléer. « Nous 

 ne pouvons pas (a-t-il remarqué) dans notre espace construire une sur- 

 face pseudosphérique indéfiniment étendue dans la direction de l'axe de 

 revolution; nous arrivons toujours, soit à une limite, comme dans le cas 

 du verre a champagne, soit à deux limiles comme dans le cas de 

 l'anneau ('"**). A ces limites, le plus petit rayon de courbure devient nul 

 et le plus grand devient infini. — Cependant, si nous supposons une 

 surface pseudosphérique flexible, nous pouvons la tra iter comme si elle 

 était indéfiniment étendue dans toutes les directions. En effet, chaque 

 portion de la surface qui s approche de la limite peut se déplacer sur 

 le reste de cette surface et sadapter à une autre portion, où une con- 

 tinuation de la surface et des figures construites sur elle est possible. 

 Ainsi , bien que nous ne puissions construire une surface pseudosphérique 

 indéfiniment étendue simultanément dans toutes les directions, nous pou- 

 vons néanmoins construire toutes les parties de cette surface lune après 

 l'autre , de telle manière que chaque partie forme la continuation des autres, 

 sans aucune interruption o (***'••). 



Je ne crois pas que cet e.xpédient indiqué par l'éminent Prolesseur soit 

 siitfisant. Les réflexions que j'ai exposées dans ma lettre du i8 juin iS-yS 



^•| Ib., pag. 277. 



(**) Giornale di Matematiche , voi. X (1872), pag. 147 et 154. 



(**') Ces excinples de surfaces pseuilospliériques soni donnés par M. Helmholtz. 



^•.**\ flj^jje ^fg cours scientif., 1870, pag. 499. 



