PAR A. GENOCCHI. SgS 



à M. QoETELET (*), subsistent toujours. On ne voit pas clairement, 



comment une surface contmue, terminée à un contour ferme, puisse , 



méme en devenant flexible , se défornier de manière à recevoir l'addition 



d'autres portions de la mème surface, sans aucune discontinuité, et sous 



la condition de conserver dans tous Ics points la méme courbure constante. 



Il reste aussi à expliquer, comment une surface, qui n'est pas simplement 



connexe, peut devenir simplement connexe par ces additions. Peut-on 



admettre que la surface ainsi composée jouisse de la propriélé, qui n'ap- 



partient pas à la surface primitive de revolution, d'avoir entre deux points 



quelconques une seule géodésique? « Pour étahlir la possibilità de cons- 



truire une surface pseudosphérique infmie dans toutes les directions (je 



cite ma lettre de 1873), d ne sulfirait pas de dire qu'on peut assembler 



différentes parties de la surface de revolution en les raccordant les unes 



avec les autres: en effet, on ne pourrait pas, à laide d'un tei assem- 



bla"e, transformer en un pian la surface d'un cylindre ». 



M. Beltrami i-egarde la surfiìce pseudosphérique comme enroulée une 

 infinite de fois sur la surface de revolution engendrce par la ligne aux 

 tangentes égales. Mais pour l'enrouler une cu plusieurs fois il faudrait 

 avoir démontré qu'elle existe. On peut bien admettre que cette surface 

 de revolution soit une surface flexible, et aussi qu'une infinite de sur- 

 faces flexibles égales à celle-là lui soient superposées, mais comment avec 

 toutes ces surfaces on puisse formar une seule surface continue et que 

 ces surfaces ou nappes superposées puissent se dérouler et donner nais- 

 sance à la vraie pseudosphère, c'est une question qui fait désirer quelques 

 éclaircissements. Tant que ces surfaces restent adhérentes à la surtace de 

 revolution, il ny a, au point de vue de la Geometrie, qu'une seule sur- 

 face, la surface de revolution; pour oblenir une autre surface, d faut 

 une opération qui n'est pas bien précisée dans ses détails et dont la 

 possibilité a besom d'ètre démontrée. On peut aussi supposer qu'une 

 sphère soit recouverte d'une surface flexible ou d'une infinite de surfaces 

 flexibles qui l'enveloppent de tous cotés, mais d ne parati pas possible 

 de dérouler cette surface ou ces surfaces en manière de former une seule 

 surface continue C"). On devrait cncore préciser s'il laut enrouler la 



(-) Bulletins de VAcad. Rny. de Belgique, 2è™= sène, l. XXXVl , pag. 185-188. 

 ("■) M. MiNDiNG a observé qu'une surface convexe, renlrante en elle-méme et regardée comme 

 un lout indhisible , n'est pas susccptible de délormation si l'on n'inlerrompt pas sa continuile 



