394 ^^^ ^^ MÉMOIRE DE DAVIET DE FONCENEX , ETC. 



pseudosphère un nomine fini ou infini de fois: car, par exemple, à un 

 cyfindrc de revolution on enroule une portion de pian une infinite de fois, 

 à un còne on Tenroule un nonibre fini de fois, et si on l'enroulait un 

 plus grand nombre de fois qu'il n est nécessaire, on n'obtiendrait plus 

 dans le déroulement un pian simple mais plusieurs plans superposés et 

 par conséquent une surtace à connexion multiple. Or, la surface pseudo- 

 spliérique de revolution se rapproche de la forme conique dans le voi- 

 sinage de l'axe de revolution, asymplote de la courbe méridienne. 



J'ajoute que d'autres explications sont indispensables sur la manière 

 d effectuer le déroulement. Il faut démontrer qu'il y a moyen de 1 elfectuer 

 pour en faire naìtre une surface continue, indéfinie, siniplement connexe, 

 et jouissant partout de la méme courbure absolue; et indiquer comment 

 on doit s'y prendre pour réussir dans cette opération. La surface d'un 

 cylindre droit peut ètre déroulée d'une infinite de manières et on peut 

 obtenir telle ou telle surface cylindrique qu'on voudra^ et méme une sur- 

 face développable quelconque; mais il y a une seule manière de la dé- 

 velopper en une surface piane. On doit penscr cgalement quii y aura 

 une infinite de manières de développer ou dérouler la surface pseudo- 

 sphèrique de revolution, mais il reste douteux que parmi ces manières 

 il y en ait au nioins une qui donne pour resulta t la vraie pseudosphère. 



Pour apprècier au juste les diflìcultés qui se présentent dans ce sujet, 

 il n'est pas inutile de prendre une question beaucoup plus simple, celle 

 du développement d'une courbe piane. Gomme on concoit qu'une surface 

 prenne des formes différentes en la recouvrant d'une surface flexible qui 

 r enveloppe de tous les còtés , on suppose qu'une courbe piane quelconque 

 peut ètre engendrèe au moyen de sa développée, enroulant sur celle-ci 

 un fil flexible qui étant développé décrit par son extrémité libre la courbe 

 donnée. Mais il est facile de signaler des cas où cette descriplion ne 

 rèussit pas: ainsi, pour la parabole ordinaire, il n'est pas possible de la 

 décrire au moyen d'un fil entourant la développée ; celle-ci est composée 

 de deux branches infinies doni chacune sert à décrire séparément une 

 des branches de la parabole. On peut aisèment se figurer ies difficullés 

 qu'on doit rencontrer dans les courbes plus compliquées, et dans la question 

 plus ardue du développement des surfaces. 



dans une ccrlaine étendue; et que, d'après ses formules, une traosformce de la surface spliérique 

 aurait des parties superposées (Journal de Creile, l. XVIII, pag. 368). 



