PAR A. GENOCCHI. SqS 



k l'égard de ce développement, tout ce qu'on sait se réduit à peu près 

 au ihédrème de Gauss sur la possibilité d'appliquer lune sur l'autre deux 

 portions de surfaces ayant partout méme courbure. Mais il faudrait dé- 

 monlrer que l'équation aux dérivées partielles qui expvime les surfaces à 

 courbure constante admet au moins une intégrale satisfaisant à toutes les 

 conditions requises pour la pseudosphère, et il paraìt qu'on ne pourra 

 y parvenir qu'en donnant une conslruction géométrique de cette surface 

 cu son équalion; les mots de suifaces Jlexibles, à'enroulement, de dé- 

 roulement ne suffisent pas à résoudre la question. 



On peut donc conclure, que dans cet état de choses la théorie des 

 surfaces pseudosphcriques (et aussi ])lus généralement celle des espaces 

 de courbure constante) est fondée sur un postulatum qui paraìt plus 

 difficile à accorder que celui d'EucuoE. 



Je passe au deuxième objet de cet Appendice , à l'examen des raisons 

 qu'on a donnees pour ctablir l'unpossibilité de demonlrer le postulatum 



dEuCLIDE. 



On paraìt généralement regarder conime élablie en rigueur rim|)Ossi- 

 bilité de dcniontrer le postulatum d'EucuoE, par cela seul que l'hypothèse 

 ■contraire guide à un système complet et cohcrent de geometrie. Cette 

 raison exprimée par Lobatschefsky a été répétée par M. Klein qui déclare 

 pouvoir répondre définitivenient par une negative à la question si ce po- 

 stulatum est une conséquence mathématique des autres axiomes introduits 

 par Euclide: on peut, en elFet (dit-il), élever sur le fondement des 

 autres axiomes un système tout à fait conséquent qui coraprend comme 

 un cas particulier le système euclidien ("). Néanmoins, comme j'en ai 

 •fait la remarque ailleurs, l'objection tombe lorsquon accepte la thcorie 

 de M. Beltrami, attendu qu'il n'y a rien de surprenant si les propriétcs 

 des surfaces à courbure constante qui remplacent le pian euclidien ne 

 présentent pas des impossibilités ni des contradictions (*''). On peut ajouter 

 qu'on n'a pas peut-étre tire tout le parli possible de ces autres axiomes, 

 et qu'en particulier on n'a pas épuisè toutes les conséquences des pro- 

 priétcs de la ligne droite et du pian; par exemple; que si une ligne 

 droite a deux points communs avec une autre, tous leurs points se con- 



(*) Mathemaliscke Annakn , t. VI, pag. 113. 



(••) M. KoENiG a développé une autre représenlalion ideile des géométries non euclidiennes. 

 Voir les Nachrichien de la Sociélé Royale de Goetlingue, mars 1872. 



