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fonclioiit les uns avec les autres sans quii soit besoin ni cFune ìotution 

 ni d aucune déforniation de ces lignes; que si deuv plans ont trois points 

 coinnmns ils se confondront complétement sans retournement et sans 

 déforniation. 



L'objeclion mentionnée n'a pas semblé decisive à Jean Bolyai qui s est 

 expressément réservé de déniontrer dans une occasion plus favorable 

 l'impossibilité de détermiuer le vrai système de geometrie (*); ni plus 

 récemment à MM. Hoìjel, De Tilly et Flye Sainte-Marie, qui se soni 

 propose de donner une telle démonstration. C est M. Houel qui le premier 

 a fait connattre une démonstration de ce genre, en se bornant toutefois 

 à discuter les raisonnements fondés sur des constructions planes ('"*) ; 

 M. De Tilly a reproduit d'abord la démonstration de M. Houel, et en 

 a depuis exposé une autre, en partant des calculs de M. Flye S^^-Marie, 

 et prétendant que cette deuxième démonstration s appliquait aussi bien 

 aux constructions planes qu'à celles dans Tespace, à la geometrie qu à la 

 mécanique (*'■•■). MM. Houel et De Tilly ont eu recours, pour nier la 

 possibililé de démontrer le postulatum, aux propriétés de certaines sur- 

 faces dont la théorie est fondée sur le postulatum. 



Plusieurs reraarques sur les démonstrations de M. De Tii.ly ont été 

 adressées par moi le 18 juin 1873 à 1 illustre Quetelet, Secrétaire per- 

 péluel de l'Académie Royale de Belgique ; et ma lettre a pam dans les 

 Bulletins de la méme Académie. Mais j'avoue que je ne m'attendais pas, 

 qu'on dui charger de l'examen de mon travail et du rapport à l'Aca- 

 démie M. De Tilly, qui était robjet de mes critiques (*•■•■■*). Il a maintenu 

 son opinion, et je me trouve dans la nécessité de le combattre de nouveau, 

 en montrant qu'il n'a pas répondu d'une manière satisfaisante à aucune 

 de mes objections. 



M. De Tilly résumé comme il suit la démonstration de M. Houel: 

 « Il est désormais impossible de démontrer le postulatum sans sortir du 

 pian, puisque, si lon y parvenait. ce ne pourrait étre, à moins de cercle 

 vicieux, que par l'emploi de propriétés communes aux deux géométries 



(*) Voir Mémoires de la Société de Bordeaux, totn. V, pag. 241- 



(*") Mém. de la Sociélé de Bordeaux, tom. Vili ; Extraits des proces-verbaux, Séance du 30 décembre 

 1869, pag. XI-XVlll. 



("•*; Bulletins de V Acad. Rny. de Belgique, 2*'"^ sèrie, lom. XXX (1870), pag. 28-37; BultetÌ7i des 

 Se. math. et astrati., lom. Ili (1872', pag. 131-138. 



(••*•) Bulletins de t' Acad. Roxj. de Belgique, 24nie serie, tom. XXXVI, pag. 3, 124, 181. 



