PAR A. GF.NOCCHI. 397 



euclidienne et non euclidienne, et qiie , dès lors, la démonstralion pourrait 

 ètre rcpétée, mot pour mot, dans la geometrie euclidienne , sur les surfaces 

 à courbure constante negative, oii pseudosphères , où elle condun-ait, 

 par coiiséqxient, à une conci usion fausse, puisque la Geometrie de ces 

 surfaces n'est pas la niènie ([ue celle du pian «. Mais il rroit avoir sim- 

 plifie la question sur les |)sendosplières en substituant à une pseudosplière 

 quelconque la surflue parliculicre engendrée par la tractoire qui tourne 

 autour de son asymptote, et appliquaut à cette surface le raisonnement 

 qu'on vient d'indiquer, et à laide duquel M. Houei. a conclu quii est 

 impossible de démontrer le postidatum d'EucLiDE. La surface de revo- 

 lution dont d sagit n'a pas eté introduite dans la question par M. De Tili.y, 

 puisqu'elle était plusienrs fois citee dans le Mémoire de M. Beltrami auquel 

 M. HouEL a puisé; mais la mention speciale faite par M. De Tilly a 

 mis à découvert le vice du raisonnement, car l'existence de la vraie 

 pseudosphère n'est pas démontrée, et cette surface de revolution, comnie 

 on le reconnaìt maintenant, manque d'une proprieté qui scrt de base 

 au raisonnement, celle de n'admettre entre deux poinls qiielctmques 

 quune seule ligne géodésique. Pour lever cette objection, M. De Tilly 

 appello noyau le curps termine par la mème surface de revolution, et 

 imagine une surface flexible enroulée indéfmiment sur ce noyau: le rai- 

 sonnement ne doit pas s'appliquer au noyau mais à la surlace enroulée 

 qui joiiit elTectivernent à son avis de la proprieté énoncée. Il suppose que 

 cette surface, composée d'un nombre infmi de nappes superposées et dis- 

 tinctes, est fabriquée directement sur le noyau. Ainsi en parlant d'une sur- 

 face flexible, d'une surface fabriquée et indéfminient enroulée, ^I. De Tilly 

 est convaincu que toutes les difficultés disparaissent, et que l'existence 

 d'une surface à courbure constante negative dont les géodésicjues ne 

 peuvent avoir quun pnint commun est démontrée. J'observerai, que si l'on 

 peut accorder quune ou plusieurs surfaces flexibles soient fabriquées sur 

 le mème noyau, il reste à expliquer comment aver toules ces surfaces 

 on forme une seule surface simplement connexe , et continue : d laudrait 

 enlrer dans quelques détails pour fixer les lignes de passage des nappes 

 inférieures aux nappes supérieures; le nombre des nappes superposées 

 parait aussi esiger tme discussion plus approfondie, puisqu'en supposant 

 une infinite de nappes dans le cas o\x. un nombre fini suffirait, on obtiendrait 

 une surlace à connexion multiple dans laquelle deux lignes géodésiques 

 pourraient se rencontrer en plusieurs points. 



Serie II. Tom. XXIX. . 'e 



