3q8 sur un mémoire de damet de foncenex, etc. 



On doit aussi remarquer, à l'cgard de la prétendue simplification , qu'il 

 est assez difficile de se faire une idée claire de certaines constructions de 

 la "éométrie piane transportées à cet araas de nappes pseudosphériques 

 superposées. Une ligue droite se prolonge indéfiniment sur un pUin dans 

 les deux sens: mais on ne voit pas l)ien netteaient romment on pro- 

 loncera une géodesique d une nappe à l'autre. Ajant trace une figure sur 

 un pian, on peut concevoir qu'on coupé ce pian en plusieurs bandes et 

 qu'on les place lune sur lautre, ou bien qu'on enroule le pian sur un 

 cylindre droit: la figure piane subirà le plus souvent des déformations 

 qui pourront rendre malaisé ou inipossible d'en reconnaìtre les propriétés. 

 Qu'on imagine par exemple ainsi découpée ou enroulée la figure par 

 laquelle Legekdre a déniontré que la somme des angles d'un triangle 

 rectiiigne n'excède pas deux droits; ou celle par laquelle le méme geo- 

 metre a cherché de prouver que cette somme n'est pas inférieure à deux 

 droits; ou encore la démonstration analogue de Minarelli pour un qua- 

 drilatere, ou la forme plus simple sous la quelle j'ai présente cette démons- 

 tration dans \e?, Nom'elles Annales en 1849 (^) • on se convaincra que les 

 lignes de la nouvelle figure devront s'enlremèler en manière qu'il ne sera 

 plus possible de s'oricnter. Cette confusion ou une confusion plus torte 

 sera à craindre dans les nappes superposées dont il a cté question. 



M. De Tii.i.Y met en avant quelques autres circonstances qui òtent à 

 sa pseudosplière la ressemblance avec le pian. Le pian est infini et uni- 

 loi-me dans tous les sens, et ses géodésiques, c'est-à-dire les lignes droites, 

 peuvent aussi étre prolongées indéfiniment dans les deux sens: la pseu- 

 dosphère de revolution s'arrète à une ligne de rebroussement ou bien 

 est partagée par cette ligne en deux parties, et ses lignes géodésiques 



(*) La démonstration de Minarelli a paiu à Bologne, en 18'i6, sous forme d'appendice à un 

 traile de mathématiques compilc par BBUNArci. L'aulcur rormait sur une droite indéfinie une suite 

 do (|Hadrilali;rcs égaux: eu y substituanl des triangles, j'abrégcai la démonstration j ma rédaction 

 flit iiisciéc dans les Ni'welles Annales de M. Terquem, et ne dilTère pas de celle de M. Caeton que 

 M. Bertrmvd a indiquéc dans les Comples rcndus de décembre l8f>i). M. BALT7ER a simpliflé cotte 

 ilémonslration Journal de Creile, t. 73, p. 372); mais une démonstration encore plus simple, fondéo 

 sur le mème principe, avait été donnea dès 1822 par le célèbre IvoRY dans le Philosophical Maga- 

 zme (I. 59, p. 161), doni je dois la oonnaissance au savant et regretlé M. Le Besgue. La déraons- 

 Iralion d'hORY a été réfutoe en peu de mois par Legendre (Élémeuls de Gcnmélrie , Paris 1827, 

 pag. 223-224); dans les Nouvclles Annales , en janvier 1850 , on réfutait la démonstration de MmARELLi. 



Lo BuUelin de FÉRUSSAC avait annoncc deus Irailés d'aritlimétique de MlWARELLi et sa Ibéoric des 

 par.illèles (Voyez t. IV et t. VII): cotte dernièrc était jugée rigoureusc, mais on ajoutait: « Sous 

 renvojons 1 aiilcjr à la crilique plus minutieuse des amateurs des parallòles " . 



