PAR A. GENOCCHI. Sgg 



soni brusquement tronquées par la inèine ligne de rebroussement. Or 

 dans la théorie des parallèles la possibilité de proionger indéliniment Ics 

 li"nes droiles joue un iòle capital. M. De Tilly propose de conimencer 

 les constmctions du còte oppose où la suiface s'approche de son asymptote: 

 mais de ce coté la surface va se rétrécissant en sorte que pour y lane 

 teiiir une construction donnée il j>ciit devenir nécessaire de considérer 

 plusieurs nappes snperposces avec toutes les difficultés qu'elles entraìnent. 

 Dailleurs, est-ce qu'on peut déterniiner et réfuter à l'avance la suite des 

 raisonnements qui pouin-aient ètre fondés sur la propriété des surfaces 

 planes de s'étendre à Finfini dans tous les sens et sur la propriété sem- 

 blable des lignes droites? 



J'avais indiqué me auti-e différeìice essentielle , cest la possibilité de 

 superposer les surfaces planes (et, doit-on ajouter, les lignes droites) sans 

 retournement et sans défonnatlon , possibilité qui n'existe pas pour les 

 lii^nes et surfaces courbes. IM. De Tili.y répond que e le retournement 

 n'est jamais nécessaire dans la Geometrie piane » ; mais comme la su- 

 perposition est admise aussi dans la Geometrie piane, et comme il a 

 affirmé sans le déniontrer qu'on pourrait y suppléer par d'autres moyens, 

 cette objection subsisle encore dans toute sa torce. D'aulant plus, comme 

 je l'observais, que peu importe si la démonstration du postulatum d Euclide 

 peut avoir lieu plutòt dans lespace que sur le pian. 



Mais on doit faiie une remarque plus importante, qui s'applique éga- 

 lement à la démonstration de M. Hoììei. et à celle de M. De Tilly. 

 Puisque de tout point d'une surface pseudosphérique part une infinite 

 de lignes géodésiqucs qui ne rencontrent pas une géodésique donnée, il 

 faut bien admettre quen passant de la figure piane à la figure pseudo- 

 sphérique, des points et des lignes qui coi'ncidaient peuvent se séparer, 

 des points et des lignes qui étaient séparées peuvent coincider. Cela 

 d'ailleurs est conforme à une observation de M. Beltrami que nous avons 

 citée sur la nature des coordonnées curvilignes. Or, en raison de ces 

 singularités, il n'est plus permis de conclure d'une figure à l'autre. Ainsi 

 à plusieurs points d'une constrnction piane peut correspondre un seni 

 point de la figure pseudosphérique: et si en supposant faux le postulatum 

 d'EucLiDE on parvenait à cette coiiclusi<m absurde que deux droites se 

 coupent en deux points, l'absurdité pourrait sévanouir pour la figure 

 pseudosphérique dans laquelle les points correspondants viendraient se 

 réunir en un seul. 



