^02 SUR UN ÌMÉMOIRE DE DAVIET DE FONCENEX, ETC. 



une constniction qui puisse s'étendre à l'infini dans deux sens ; et tandis 

 que dans le vrai pian les points égalen)ent éloignés dun point donne 

 forment ime circonférence doni la longueur croìt indéfiniment avec la 

 distance de ce point, dans le pseudoplan les points pris sur les méridiennes 

 à égale distance de leuv point commun forment une circonférence dont 

 la longueur reste finie quoique cette distance puisse croitre indéfiniment. 

 Ainsi la nouvelle interprétation donnée par M. De Tilly aux calculs 

 et forniules de M. Flye S^'^-^Iaìhe est loin de conduire à une démons- 

 tration rigoureuse et complète de l impossibilité de prouver le postulatum 



d'EuCLlDE. 



Mais cette impossibilité serait-elle une conséquence des mémes calculs 

 et formules pris dans leur interprétation primitive .' Après un exanien 

 attenti! des recherches de !\I. Flye S^^-Marie, j'avoue que je serais assez 

 dispose à 1 admettre. 



M. Flye S^^-Marie détennine la position d'un pomt au moyen de 

 trois coordonnées x, j, z, qu'il 'A\)\)e\\e paramétrales , et parvient sans 

 le secours des parallèles à représenter par des équations la ligne droite 

 et le pian. Ces équations sont les mémes que M. De Tilly a prises pour 

 definir la pseudodroite et le pseudopian, mais le système de coordonnées 

 est dillérent. Elles renferment un paramètre k, qu'il faut supposer infini 

 pour obtenir la geometrie euclidienne et qui étant fini donne la geometrie 

 de Lobatschefsky: mais, à l'exception du postulatum, elles exprinient 

 toutes les propriétés de la ligne droite et du pian, et suffisent pour 

 résoudre toutes les questions qui les concernent. La parfaile uniformile 

 dont jouissent ces lignes et surfaces et qui nappartient pas à la pseudo- 

 droite et au pseudoplan peut également s'en déduire , conane le montrent 

 les calculs suivanls fondés sur les forniules de Iransformation des coor- 

 données qu on trouve dans le niénie ouvrage ("'^j. 



Il suffit de démontrer que les équations de la ligne droite et du pian 

 conservent la méme forme après une transformation quelconque de 

 coordonnées. 



Soit l'équation du pian 



où z = Alogi: nous ferons z'^Alog^' 





(*) Études analyliques sur la théorie des parallèles. Voyez surtoul pag. 62-64, 66-69. 



