PAR A GENOCCHI. Ì']5: 



appliquée en C. D'un autie coté les forces appliquées en D et F aiiroiit 

 une resultante P/{j) passant par J et les forces appliquées en E et G 

 une resultante égale passant par B; ces forces appliquées en ^ et J5 et 

 d'intensité Pf{r) aui'ont leur resultante 



appliquée en C. D'où l'on conclut 



f(x—j) +/(x +;■) =f{x)f{j) , 

 équation fonctionneile qui donne 



mais qui exige que a soit une constante. 



La solution de Foxcenex correspund a la valeur particulière a = i ou 

 h = o; et par conséquent on aura cosp = sin a , c"est-\-dire que les deux 

 angles a et [' seront complémentaires. On aura donc un triangle JBC 

 (fig. 5) dans lequel la somme des angles vaudra deux droits; ce qui suflit 

 pour établir le postnlatum d'EccuDE et la geometrie euclidienne. 



On peut au contraire supposer h dilFérent de zèro. Alors, en prenant 



h= ~ ' , avec r réel , la mème formule nous donnera la geometrie de 



LoBATSCHEFSKY, ou non euclidicnne hjperboUque, nommée aussi pseudo- 

 sphérique. 



Il y a encore d'autres hypotlièses possibles sur la valeur de h. On peut 



supposer h—~ avec r reel: la relation obtenue sera identique avec une 



formule de trigonometrie sphérique, c'est-à-dire avec la relation connue 

 entre deux angles et un coté d'un triangle sphérique rectangle, et r sera 

 le rayon de la sphère. On trouvera ainsi la geometrie non euclidienne 

 sphérique ou elliptique. 



Voilà donc comment ces trois géométries, ewMienne o\\ parabolique, 

 non euclidienne hvperbolique, et non euclidienne elliptique, découlent 

 d'une méme formule ;\ laquelle on est conduit par les questions traitées 

 dans le IMémoire de Foncenex. 



On pourrait encore à la quantité h supposer la forme plus generale 



a^by-i 

 avec a e\. b réels et tous les deux différents de zero; mais on doit 



