PAR A. GENOCCHI. 38 1 



D'après M. Helmholtz ('), on pourrait prendre pour point de départ 

 une définition du pian qui exigeùt la réunion de ces trois conditions: 



I ' Quìi soit une surface superposable à elle-mème dons toutes se& 

 parties; 



2° (hie deux de ses lignes géodésiques ne puissent avoir plus d un 

 point toinnnin; 



3° Qu on ne puisse conduire par I un tjuelconque de ses points qu une 

 seule géodésique qui ne rencontie pas une ;aitre géodésique donnée. 



D'après Gauss, il sulllrait dadtneltre quii existe des figures semblables 

 qui ne sont pas égales, ou bien que rien n'est petit et rien n'est grand 

 d'une manière absolue, rar u il n'en est pas de méme dans la geometrie 

 » non euclidienne, et cest jjréoisément là son caractère essentiel. Ceux 

 » qui n accordent pas ce lait , ètablisseat dèj-\ par cela mème tonte la 

 » geometrie euclidienne » (**). 



Mais si l'on préfère de fonder sur un postulatum la mécanique pour en 

 déduire ensuite par des démonstrations rigoureuses la geometrie, on pourra 

 admettre le principe d Archimede en regardant comnic une chose evidente 

 qu'il faut le mème elTort pour soutanir les deux bouts d'un levier chargés 

 de poids égaux ou pour en sjutenir le milieu. On pourrait aussi, si l'on 

 jugeait plus simple et plus évident cet autre principe, prendre pour postu- 

 latum , que la T'esultante d'un sjstènie de forces ne peut jamais suvpasser 

 la somme des composantes ; car on conclurait de là que, dans lexpression 



2Pcos/i.r 



de la resultante de deux forces égales à P, le nombre h ne peut ètre de 



la forme avec /■ réel, coshx étant dans ce cas >i, et qu'il doit 



partant se réduire à zèro puisqu'on a déjà exclu les autres valeurs rèelles 

 et imaginaires de h. 



En tout cas, il faudrait examiner , s'il peut ètre bien utile de poursuivre 

 l'étude simultanee de trois Gèométries, la Geometrie euclidienne et les 

 deux non euclidiennes. 



Les questions relatives à ces trois Gèométries menacent de ramener les 



(*) Vojez lìevue des cours scientif. N" dn 9 juillel 1870, pag. 499. 



(**) Lettre à Schumacher 12 juillet 1831.Voyez les Éfurfe* jeomc'fn'yupj de Lobìtschewsky, trad. 

 par M. HoiiEL, Paris, 1866, pa;?. 40 {Méin. de la Sociétè des Se. phys. et nat. de Bordeaux, T. IV, 

 18(iC, iiag. 126). 



Serie II. Tom XXIX. 'a 



