382 SUR UN MÉMOIRE DE DAVIET DE FONCENEX , ETC. 



mathéinaticiens ;i des discussions byzantines sur la nature de l'espace et 

 peut-étre de donnei" naissance à une race de sophistes plus déraisonnables 

 que ceux du temps d'EucLioE. Ainsi, en adniettant i'extension infmie de 

 l'espace, on reconnaissait avec Gauss, Lobatschefsrv et Bolyai, que deux 

 seules géométries sont possibles, celle d'EucLioE et celle de Lobatschefsky, 

 savoir la géonaétrie parabolique et la geometrie hyperbolique ('') , et l'on 

 rejetait tout à fait celle qu'on a depuis appelée elliptique ; on vient en 

 eifet de voir quen supposant à la ligne droite une longueur infinie on trouve 

 que cette dernière est inipossible. On a voulu ensuile faire abstraction de 

 l'étendue infmie de l'espace; et on la regardé comme replié et rentrant 

 en lui-méme; et il en est résulté la possibilité de la Iroisième geometrie ('■*). 



Une autre propriété de l'espace qui était admise sans contestation cest 

 son homogénéité ou sìmilariié, qui a eté expliquée pour la première fois, 

 si je ne me trompe, par Bertrand, de Genève, en disant « que la portion 

 » d'espace qu'occuperait un corps en un lieu, ne dilTérerait pas de celle 

 » (juil occuperait ailleurs ; . . . que l'espace est autour dun corps place 

 » quelque part ce qu il est autour du mème corps place autre part » (***). 



Mais quelqu'un a déjà émis des doutes sur la petitesse des erreurs 

 inhérentes à l'hypothèse dune telle propriété attribuèe à l'espace (****) ; 

 et en suivant cette voie personne ne peut prévoir les idées géométriques 

 auxquelles on aboutira. 



En mème temps qu'on ouvre la porte aux questions sur les propriétés 

 de l'espace, on élargit le champ à l'emploi des éléments infinis ou ima- 

 ginaires en Geometrie. Voici en quoi l'on- fait consister la distinction 

 caractéristique entre les trois géométries. Tonte ligne droite a deux points 

 à l'infmi: ces points sont réels et distincts dans la geometrie hyperbolique; 

 ils sont imaginaires dans la geometrie elliptique ; ils sont réels et coinci- 

 denls dans la geometrie parabolique (^■'■■'•••••^'). Combien Euclide serait étoimé 

 d'apprendre que la ligne droite dont il a exposé les propriétés dans ses 

 Éléments a deux points à linfini, ou deux bouts qui, étant placés l'un 



*) llELMHOLTZ, Sur ks faits de, pag. 6 [Mdm. de la Soc. de Bordeaux , t. V , pag. 311); Mathe- 

 iiiali.se/ie Ànnalen, tom. IV, pag. 575 (Leipzig, 1871). 



(") Matìtcmalische Jniialen , lom. IV, pag. 57C. 



(***) Di'veloppement nouvcau de la panie élementairc des Mathémaliqucs , Ionie II, Genève, 1778. 

 Bléinenls de Geometrie, Paris et Genève, 1812, pag. 2. 



{**") jinnali di Matematica, Serie li, lom. V, pag. 192-193 (Milan , 1872). 



(*****) Malhemalisihe Annulen , tom. IV, pag. 577. 



