PAR A. GF.NOCCHI. 383- 



d'un coté l'iin de l'autre, se lapprochent dautant plus qiion prolonge la 

 droite, cest-à-dire dautant plus qu ils s'éloignent, et finissent par se 

 confondre! Cela ne devait pas paraìtre moins absurde à Euclide et à tous 

 les Géomètres anciens, que le serait pour un algébriste de bon sens, 

 l'équation 



■ co = H- OO 



qui lui donnerait o = 2 co ou co = o , et à laquelle on ne pourra 

 jamais nous conduire, quoique quelques-uns cherchent à préparer la voie 

 en admettant que le passage de - co à -h co ne rompi pas la conti- 

 nuile d'une fonction. Le lemps donnera raison à ceux qui Irouvent plus 

 salisfaisant , dans le cas du passage par l'infmi , de considérer la marche 

 des valeurs réciproques de la fonction, et qui croient que les poinls à 

 l'infini d'une droite sont à distance infmie 1 un de l'autre. 



Après les points ;\ rinfìni d'une droite on s'esl occupé des points à 

 l'infini d'un pian. Ces poinls forment une ligne droite dans la geometrie 

 parabolique ou euclidiemie; une conique imaginaire dans la geometrie ellip- 

 lique ou sphérique; une conique réelle dans la geometrie hyperbolique 

 ou pseudosphérique, dans laquelle on admet au surplus un espace idéal 

 au delà ou en dehors de linfini C"). Mais ces conceptions ne paraìssent 

 pas comporter une explicalion raisonnable et précise. Sans s arréler à ce 

 qui regarde les géomélries non euclidiennes, la proposition que dans la 

 geometrie euclidienne les poinls à l'infini d'un pian soni disposés en ligne 

 droite, ne saurait ètre acceptée que dans un cerlain sens ou sous certaines 

 conditions; l'énoncer d une manière absolue serait en opposition avec les 

 principes inculqués par Gauss et Cauchy relalivement à linfini malhé- 

 malique et qui sont les seuls admissibles (•"'). 



Je n'insisterai pas sur ces comparaisons ; mais je ferai remarquer que 

 les partisans des Géomélries non euclidiennes ont eu lori de ciler en leur 

 faveur les Mémoires de M. Beltrami ('"••), landis qu'ils auraienl dù en lirer 

 «ne conclusion absolument conlraire. En elTel, suivant la ihéorie de 

 M. Beltrami, la geometrie euclidienne suffit pour expliquer les résullats 

 de ces deux géomélries nouvelles, car la Geometrie elliplique n'est que 



(*) Mathemalische Annalen, tom. IV, pag. 607, 009-611, 613. 



(•') Voir un article de M. Transon dans les Nouveltes Annahs de Mallumaliques, 1873, pag. 294. 



(***) Ces Mémoires ont paru dans le Giornale di Matematiche, t. VI, Naples 1868, et dans les 

 Annali di Matematica, 2*^""= sèrie, t. II, Milan 1868. Une traduction due à M. HoiiEL a été insérce 

 dans Ics Annales scienti/ii/ucs de VÈcoU Normale Supérieiire, tom. VI, pag. 251 et 347 (Paris, 1869). 



