49 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 



sono effettive costanti; cosicché dalle (15) si trae, posto u = « — m + 1, 

 (19) 2 g = p - £'e* - (fi - 3) g ift, 



dove nella sommatoria del secondo membro è s=M. 



Il sistema delle (18), (19) si discute come i sistemi analoghi precedentemente. 

 La (16) in virtù delle precedenti diventa poi: 



(1 

 La (20) dimostra che N l T -y- è una similitudine per 



r(i] 



Zk, h d.i\ d.r 



se i, k variano, restando di specie ^-esima. Poiché i gruppi simili furono da me già 

 studiati in memorie citate, noi potremo senz' altro riguardar note le E r di specie 

 Z-esima (/=i=l) e le K, k relative. Le E r del primo sistema si ottengono dalle (18), (19) 

 (■oii metodi analoghi a quelli usati nelle pagine precedenti. 



È così risoluto completamente il problema di trovare gli spazii (1) del % •"> che am- 

 mettono trasformazioni geodetiche, per cai il sistema coordinato è invariante, e di deter- 

 minare queste corrispondenti trasformazioni infinitesime. 



Noi ora dimostreremo che, tranne al più qualche caso specialissimo, tutte ti 

 trasformazioni geodetiche 'li un qualsiasi spazio del tipo (1) del § 5 lasciano invariato 

 il sistema coordinato; e. per il teorema precedente si potrà quindi immaginare risoluto, 

 eccetto al più in questi specialissimi casi, il nostro problema. Di più troveremo una 

 lunga serie di equazioni che anche per questi specialissimi casi permetterebbero cer- 

 tamente, volta per volta, di completare senza difficoltà la discussione, sebbene io non 

 sia riuscito a dimostrar questo per il tipo generale e per n qualsiasi. Prima di di- 

 mostrare quanto abbiamo ora enunciato, voglio fare due osservazioni, che sono assai 

 utili per semplificare volta per volta la discussione degli eventuali casi eccezionali 

 testé citati. 



1...T 



Se / £>--^— è una trasformazione geodetica per il nostro spazio, allora ^ E,,— 

 (>\ del primo sistema) è geodetica per l'elemento lineare. 



T 



Za ile 

 l 



quando nelle l r , si riguardino come parametri arbitrarvi le " x ., del secondo, del terzo ecc 



sistema . 



Così pure più in generede la 



dove r percorre gli indici di un certo numero di sistemi /compreso il primo) è geodetica 

 ,,er quell'elemento line ire dir si ottiene do quello del nostro spazio annullando i coeffi- 



