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sarà allora per (12) ip,'=!=0 anche per * = 1; ossia nessuna ip, sarebbe costante: e 

 potremmo porre per (12) 



4», = 2 k, x, (À-, = cost). 



La (14) ci dà: 



2 l: = v, + ^- x, — (n — 3) g, /, 



che sostituito in (13), dà un'uguaglianza che dev'essere identicamente soddisfatta. 

 Annullando il coefficiente di x\ abbiamo: 



— («— -3) v,A-; = 4 q x k\ 



che è assurdo. Possiamo dunque dire: 



Lo spazio (1) se non è a curvatura costante e se nessuna delle u», è costante non 

 può per ii > '■'<■ ammettere più di una trasformazione geodetica noti conforme; e per un 

 teorema precedente si può perciò restringere la ricerca a quei casi in cai una <> dm 

 delle i)i, sono costanti. E anche lo studio di questi casi si trova completato nelle 

 pagine precedenti. 



Volgiamoci ora all'altro caso: al caso cioè di quegli elementi lineari del tipo (1) 

 del § 5 che non coincidono con l'elemento lineare aggiunto. 



Imprendiamo le notazioni e le denominazioni del § 5. Risolviamo intanto il pro- 

 blema di determinare tutti gli elementi (1) per cui il sistema coordinato sia inva- 

 riante e quindi anche canonico per qualche trasformazione geodetica dello spazio e 

 di trovare corrispondentemente tutte queste trasformazioni. Osserviamo per maggior 



precisione, che con ciò intendiamo dire che queste trasformazioni > £ r -z — sono tali 



che le H; il cui indice è, p. es., della v-esima specie sono funzioni soltanto delle x, 

 della v-esima specie. Scriviamo intanto le (3) del § 5. Esse sono: 



r, r W 



Nella (16) la specie £-esima non deve essere del primo sistema; >\ prende natural- 

 mente soltanto i valori degli indici del primo sistema, mentre i, k, r prendono soltanto 

 i valori degli indici di specie ^-esima. Se poi indichiamo con i, k due indici di specie 

 differente avremo le: 



ht, . V òi 



d7) «'<■=!>.. A + 5> 



_ 



O.T, 



dove ;' percorra tutti gli indici della stessa specie di i, li tutti gli indici della specie 

 di k. Queste equazioni (77) sono nella nostra ipotesi identicamente soddisfatte. 

 Come precedentemente, dalle (15), 1(5) le quantità 



(18) e„ = e„ = ^ r _ Vft - 9 fa* - 



