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che è analoga alla (8) dove manchi il termine che contiene il quadrato di V,. La 

 nostra trasformazione è perciò una similitudine per (11). 



Come per w = 3, abbiamo qui dovuto escludere il caso che una delle i\> iniziale 

 fosse costante, perchè altrimenti avrebbe potuto una delle V, diventare infinita. 



Ma noi ora possiamo per il caso n>3 completare il precedente risultato. Per il 

 risultato precedente possiamo porre g = nelle (8), (9). 



Esse diventano così : 

 (8") E, ip,' — imi, + r 



(9"). 2Zi'=P ossia £,= ; ; a 



dove X, sono costanti. La (8") diventa quindi 



(12) ■-. +X, ) Vl ' = imi, 4-e. 



Naturalmente di tutti questi spazii non ci interessano che quelli che oltre alla 

 supposta trasformazione simile ammettono eventualmente una qualche trasformazione 

 geodetica non conforme; per cui oltre alla (12) dovranno sussistere altre equazioni 

 come le (8), (9) in cui il valore di q non è nullo. Indicando con j,; n,, p,, «, delle 

 costanti, dovranno sussistere le equazioni : 



(13) li hV = g, m + li Vi + €, (gì =t= o) 



,/E ; 

 dxi 



(14) 2 g = p x -(« -3)g lV , 



dove naturalmente è Hj = S^ (»<). 



Noi studieremo un po' più tardi questo sistema di equazioni; e vogliane 

 minare dapprima il caso in cui una o due delle i)J, siano costanti. Se lo spazio cor- 

 rispondente ammette solo un gruppo G 1 geodetico (oltre al movimento -— se la 



sola i)j, è costante, oppure oltre ai movimenti a -r 1- B -j— (a, S costanti) se sono 



costanti le ip„ %.) si possono ripetere ragionamenti analoghi a quelli tenuti per il 

 caso n = 3. Si deve cioè supporre nelle (8), (9) q =f= 0, e si deve ammettere che il 

 polinomio del secondo membro delle (8) si annulli quando al posto di ip, si sostitui- 

 scano i valori di quella o di quelle ty che si suppongono costanti. L'eliminazione 

 dalle (8), (9) delle l ci dà poi un'equazione alle derivate ordinarie per quelle iy, che 

 non sono costanti, e che serve a definirci tutti gli spazii cercati. 



Noi ora vogliamo risolvere la questione di cercare quelli di questi spazii che 

 ammettono oltre alle trasformazioni ora citate, qualche altra trasformazione geode- 

 tica, ossia (§ 5) qualche trasformazione conforme. Anche qui, come precedentemente, 

 il problema si riduce alla ricerca di quei sistemi di valori delle iy, per cui valgono 

 le (12) e si possono integrare le (13). E alla discussione di questo problema noi ora 

 ci rivolgeremo. 



I" caso. Siano due delle iy„ p. es. le ij»i, H»2, costanti. Ponendo in (12) i= 1, 

 i = 2 si trova n i^ -f- e = n ip 2 -f- e = ; poiché i)^ =i= n> 2 sarà ti = £-0 e quindi 



(-£- Xi + \ ) v/ — 0. Poiché se i =4= 2,1 è qi/ 4= 0, sarà dunque p = 0, X, = (i =4= 1,2); 



