45 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 305 



Poiché 



n,i = n,i = n, n» = n.,-, e« = e«-, «,., = e„ = e, 



si ha: 



(ti,. - n) Vr + («« - e) = 



(ìl„ — n) Y. + K - e) = o. 



Poiché r=f=s, è certo i|» r =l=»p, perchè altrimenti l'elemento (1) sarebbe degenere. 



È perciò 



n„ = n e,, = e 



qualunque siano gli indici r, s. 

 Le (6), (7) diventano: 



(8) £, w,' = <ì Vi 2 + n M>, + e 



2 £,' = j3 — (w — 1) n — (« — 3) ^ l|), 



e scrivendo ^? in luogo di p — (n — 1) n 



(9) 2 l'—p — (n — S)qWi- 



Dalla (8) ricaviamo, poiché tutte le ijj, sono distinte: 



Se alcuna delle 4», è costante e lo spazio (1) ammette una trasformazione geode- 

 tica, le y, costanti saranno soluzioni di una stessa equazione di secondo grado; non 

 possono perciò esistere più di due ip; costanti. 



Studiamo dapprincipio il caso in cui nessuna delle iy, sia costante. Si può allora 

 dimostrare un teorema generalizzazione di uno già trovato per n = 3. 



Se uno di questi spazii ammette una trasformazione geodetica X, esso è applicabile 

 geodeticamente su un altro spazio per cui X è una trasformazione simile. Infatti se in (8) 

 fosse g = la trasformazione sarebbe per (5) simile. Supponiamo dunque q =4= 0. Allora 

 aggiungendo alle tp, una stessa costante si può fare e = 0. Osserviamo ora che lo 

 spazio (1) è geodeticamente applicabile su 



(10) =^y^^=^dxi 



Mutiamo i parametri x„ ponendo 



dtj\ = ni" -3 dx\. 

 L'elemento (10) si scriverà con le nuove coordinate 



(il) JjTT/w-rodtf 



dove V — — , Vi = — .La trasformazione X= 7 £, -» — diventa X = 7 n, dove 



1 % Vt Lj ox, /_i di'. 



, dx, 



e la (8) diventa (poiché e = 0) 

 (8') ni ^ == _ T| F i -j 



Serie II. Tom. LUI. N 1 



