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con la sola condizione che i =*= t 4= /t =#= ». Dunque se anche una sola delle derivate — 

 non è nulla 0'=t=/fc), dovranno essere verificate tutte le (4) ossia avremo sempre 



\it,it\ = \i h, i li (i =f= M =#= &) 



ossia 



(< <, t Q (i h, i h) 



mi ahh 



ossia le espressioni Ji^L («=)=*) saranno tutte uguali; e per un teorema di Schur 

 lo spazio sarebbe a curvatura costante. Quanto al sistema delle x u x 2 , x 3 x„ ba- 

 sterebbe poi ora ripetere le considerazioni già svolte per « = 3. Escluso questo caso 

 anche per n > 3 potremo perciò scrivere E, = 2, (x,) ; e quindi il sistema coordinato 

 sarebbe canonico per ogni G t geodetico e si avrebbero quindi le: 



La discussione di questo sistema per n > 3 è in parte analoga e in parte no a 

 quella svolta per il caso n = 3. Noi la svolgeremo rapidamente. Dalle (5) si deduce, 

 come nel caso n = 3 che 



Ei W,' — irV/r i i -v 



ip, — nj r 1 VT ' 



è una costante, che noi indicheremo con n, r = n ri . Ne traggiamo 

 E, ip,' — q Vi 2 — Htr V. = g r Mi/ — g vp,' 2 — n„ i(i,. 

 Queste due espressioni saranno uguali ad una stessa costante e ir = e r ,. E noi 

 avremo : 



(ti) 2, Vi = 2 W + n,r Y, + e,r- 



Le (5) diventano così 



(7) 2 g =p-(n-8)jM. i -2'nfr = 



dove nella sommatoria del secondo membro si deve escludere che sia r = i. Dalle (6) 



si ha poi che 



Air Mi. + Ut 



non dipende dal valore dell'indice r, (naturalmente però differente da i). Ora, siccome 

 per ipotesi lo spazio non è a curvatura costante nulla, si potrà supporre che una 

 delle iji almeno, p. es. la \\> 1 , non sia costante. 



Poiché le riir Vi 4- £ir sono uguali, se ne deduce che n lr , e lr non dipendono dal 

 secondo indice; cosicché si potrà scrivere 



Hlr = n «ir = £ 



dove n, e sono due costanti. Ma ora per l'osservazione precedente, se r, s sono due 

 indici distinti fra loro e da 1, sarà 



(Tiri — Hr S ) Vr + (<Vl — *rs) = 



(l,i — r\„) mi, + (e,i — £.,r) = 0. 



