43 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 



forme. I loro elementi lineari devono essere del tipo (1) del § 5 e di più il sistema 

 coordinato deve essere il sistema canonico di qualche trasformazione infinitesima. 

 Cominciamo intanto a studiare quelli di questi spazii, il cui elemento lineare coincide 

 con l'elemento aggiunto, ossia gli spazii del tipo 



(i) «fo» = £rn/(q*— ¥,)]&£. 



Fondamento della nostra ricerca è la semplice osservazione che tutti i simboli 

 a 4 indici di seconda specie di questo spazio sono tutti nulli eccetto che i simboli 

 del tipo \ij, ij\ = — )ij,ji\ (*=f=/) e che tra questi valgono le due seguenti identità, 

 di cui la prima fu già da noi trovata nel caso particolare di n = 3. 



I) Le quantità — ,1J . _^_' ' ' * per i =#=/#= &4= i sono simmetriche nei tre 

 indici i,j, k; noi le indicheremo con (i,j,k) e potremo quindi scrivere: 



(i, j, k) = (j, i, k) = {i, k, j) = (k, j, i) = (k, i,j) = (/, k, i). (i =j=j dp / 



II) Se i,j, li, k sono quattro indici distinti qualunque, è: 



(2) (ip. — H>,) (* i j) + (% - mi») (kj h) 4- ( Và - Vl ) (Jfc A j) = 0. 



Questa identità si verifica facilmente con l'effettivo sviluppo. 

 Premesse queste due serie di identità, il nostro problema per gli spazii (1) si 

 risolve rapidamente. L'equazione 



)ij,ki\' = {i^j=^k) 



dà: 



[ ; ij, ij j - ) i k, ik ( ] -gL = o ossia (i kj)-g r = 0. 



Se non è quindi .' = (j=hk) sarà qualunque sia i, purché differente da j, k 



(3) (ikj) = (i~k.i^j). 



Siano i, h due indici distinti tra loro e differenti da ;', k; sarà per (3) 



(ikj) = (hkj) = 0. 

 E quindi per (2) sarà 



(3') {khi) = (i^h:i^=k.i^j-h^kj,-\i\. 



Le (3), (3') danno che sarà sempre 

 {3") {khi) = {h^i^k^h). 



Sia t un indice distinto da /•, h, i. Avremo 

 (3'") (kti (t^=k, li, i;k^i). 



Le (3"), (3'") insieme all'equazione che si deduce da (2) ponendovi k. t, li, i al 

 posto di k, h, j, i danno infine 



(4) (ith) = Q 



